분리합집합

수학에서 분리 합집합(分離合集合, 영어: disjoint union) 또는 서로소 합집합(-素合集合)은 원소들에게 그들이 속하던 집합에 대한 첨수를 추가하도록 변형된 합집합이다. 서로소인 집합들의 경우, 분리 합집합은 원래의 합집합과 동등하다.

정의

두 집합 $A$와 $B$의 분리 합집합 $A\sqcup B$은 다음과 같은, 두 곱집합의 합집합이다.

$A\sqcup B=(A\times \{0\})\cup (B\times \{1\})$

보다 일반적으로, 집합들의 집합 $\{A_{i}\}_{i\in I}$의 원소들의 분리 합집합 $\bigsqcup _{i\in I}A_{i}$은 다음과 같은 집합이다.

$\bigsqcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}{(A_{i}\times \{i\})}$

분리합집합의 원소 $(a,i)$ 속의 $i$는, $a$가 어디에 속하던 원소인지 알려준다. 이에 따라, $\{A_{i}\}_{i\in I}$가 서로소 집합족이거나 아니거나, $\{A_{i}\times \{i\}\}_{i\in I}$는 서로소 집합족이다.

성질

임의의 $A_{i}$는 자연스럽게 $\bigsqcup _{i\in I}A_{i}$로 매장된다.

$\iota \colon A_{i}\hookrightarrow \bigsqcup _{i\in I}A_{i}$

$\iota \colon a\mapsto (a,i)$

집합들의 분리 합집합의 크기는, 그 집합들의 크기의 합이다. 즉,

$\left|\bigsqcup _{i\in I}A_{i}\right|=\sum _{i\in I}|A_{i}|$

예

두 집합

$A=\{a,b\}$

$B=\{b,c,d\}$

의 분리 합집합은

$A\sqcup B=\{(a,0),(b,0),(b,1),(c,1),(d,1)\}$

이며, 그 크기는 5이다.