組み合わせについて

ある抽選会では、 10 ドル、100 ドル、 1,000 ドルの ３本の当たりが用意されています。 当選額がこの順で決まる場合には、 並び順が区別される順列を使います。 これに対し、並び順が 特に区別されない場合は、 順列ではなく、 組み合わせの計算式を使います。 次の例を使って考えてみましょう。 12 人のクラスがあります。 学内で行われるコンテストに 代表で出場する４人を、 全員からランダムに選ぶことになりました。 オリビアとレイラの姉妹は、 一緒に出場したいと思っていますが、 揃って代表に選ばれる確率は どれくらいでしょうか。 答えを出すには、 まず４人を選ぶ組み合わせの数を 出す必要があります。 順列と組み合わせでは、 その成り立ちや求め方が異なります。 画面の選出結果を見比べてください。 どちらも、選ばれた ４人の組み合わせは同じです。 同じ４人をどんな順番で並べようと、 代表チームの構成は変わりません。 ここに並んでいる２通りのパターンは、 同じ１つの組み合わせなのです。 組み合わせとはどういうものなのかが わかったところで、 その総数を求める式を見てみましょう。 この式では、 割られる数が n の階乗です。 次に、n から x をひいた数の階乗に x の階乗をかけた積を求め、 これで最初の数を割ります。 n は対象の総数を、 x は対象から抜き出す数を表しています。 この例では、クラスの人数が 12 人でした。これが n です。 ここから４人の代表を 選ぶという状況なので、 x には４が入ります。 それぞれの値を代入し、12 の階乗を、 12 ひく４の階乗に ４の階乗をかけた値で割ります。 割られる数と割る数には、 共通の因数が含まれているので、 これを相殺すると、画面一番下の式になり、 495 通りの組み合わせが できるとわかります。 では、この 495 通りのうち、 オリビアとレイラが 同時に含まれるのは何通りでしょうか。 ここでは、４つある代表枠のうち オリビアとレイラが２つを占め、 あと 10 人の誰かが 残る２つの枠に入ると考えます。 つまり、姉妹を除く クラスの 10 人から、 あと２つの枠に入る ２人を選ぶ組み合わせの数を 求めればいいことになります。 計算式に従って、対象の総数 n に 10を代入し、 対象から抜き出す数の x に…