Arithmetica Universalis

Arithmetica Universalis の標題紙。1707年出版。

ラフソンによる英語版。1720年出版。

Arithmetica Universalis（英: Universal Arithmetic, 普遍算術、ふへんさんじゅつ）はアイザック・ニュートンによる数学書。原文はニュートンの講義ノートを基にラテン語で書かれ、ニュートンのケンブリッジ大学のルーカス教授職の後任であるウィリアム・ホイストンによって編集、1707年に初版が出版された。

ジョゼフ・ラフソンによる英訳版は1720年に、Universal Arithmetick として出版された。また、ラテン語第二版はジョン・マチンによって1722年に出版されている。

ニュートン自身は Arithmetica の出版に不満を持っており、彼の名前が記されることを頑なに拒否したため、これらの版のいずれもニュートンの名は著者として記されていない。 実際、ホイストンによる初版が出版されたときニュートンは非常に狼狽し、刊行されたものすべてを買い占め、処分することを考えたという。

Arithmetica には代数における記法、算術、幾何学と代数学の関係、方程式の解についてが記されている。ニュートンはデカルトの符号法則を複素数根について適用し、代数方程式の複素数根の個数が符号律から決まることを、証明なしに要請している。150年間、このニュートンの方法に厳密な証明が与えられることはなかった（ジェームス・ジョセフ・シルベスターによる証明は1865年。On the real and imaginary roots of algebraical equations: A Trilogy のことか）。

代数方程式の解について

以下に複素数根の個数について該当する記述を引用する。

 CXIX. Where there are none of the Roots of the Equation impossible, the Number of the affirmative and negative Roots may be known from the Signs of the Terms of the Equation. For there are so many affirmative Roots, as there are Changes of the Signs in continual Series from to −, and from − to ; the rest are negative.  As in the Equation x⁴ − x³ − 19xx 49x − 30 = 0, where the Signs of the Terms follow one another in this Order,  − −   −, the Variations of the second $-$ from the first ${\displaystyle }$, of the fourth ${\displaystyle }$ from the third $-$, and of the fifth $-$ from the fourth ${\displaystyle }$ , shew, that there are three affirmative Roots, and consequently, that the fourth is a negative one. But where some of the Roots are impossible, the Rule is of no Force; unless as far as those impossible Roots, which are neither negative nor affirmative, may be taken for ambiguous ones. Thus in the Equation x³ pxx 3ppx − q = 0; the Signs shew that there is one affirmative Root and two negative ones. Suppose x = 2p, or x − 2p = 0; and multiply the former Equation by this, x − 2p = 0, that one affirmative Root more may be added to former; and you will have this Equation,

$$x^{4}-px^{3} ppxx\left.{\begin{array}{l}-6p^{3}\\-q\end{array}}\right.x 2pq=0,$$

which ought to have two affirmative and two negative Roots; yet it has, if you regard the Change of the Signs, four affirmative ones. There are therefore two impossible ones, which, for their Ambiguity, in the former Case seem to be negative ones; in the latter, affirmative ones.  But you may know almost, by this Rule, how many Roots are impossible.

— Sir Isaac Newton, Theaker Wilder、 Universal Arithmetick, Of the Nature of the Roots of Equations, 1769.

この部分を日本語訳すると以下のようになる。

　百十九. 方程式が不可能な根 (複素数根, impossible Roots) を持たなければ、正の根 (affirmative Roots) と負の根の個数はその方程式の各項の符号から分かるだろう。正の根は、符号の列が から −、または − から へ変化する数だけあり、残りは負の根である。 方程式 x⁴ − x³ − 19x² 49x − 30 = 0 について、各項に対する符号を  − −   − というように並べると、符号の変化は一番目 から二番目 −、三番目 − から四番目 、四番目 から五番目 − にあり、すなわち正の根が 3 つあり、従って 4 つ目の根は負である。しかし方程式が不可能な根を持つ場合には、それらの不可能な根が、正でも負でもなく曖昧なもの (ambiguous ones) となり得る限りは、この規則は力を持たない。例えば、方程式 x³ px² 3p²x − q = 0 は、符号より 1 つの正の根と 2 つの負の根を持つ。ここで x = 2p、あるいは x − 2p = 0、として先の方程式に掛けると、方程式の正の根は 1 つ増え、次の方程式が得られる。

$$x^{4}-px^{3} p^{2}x^{2}-\left(6p^{3} q\right)x 2pq=0,$$

この方程式は 2 つの正の根と 2 つの負の根を持たなくてはならないが、符号の変化から判断するには、4 つの正の根を持つことになる。従って、符号の曖昧さから、2 つの不可能な根があって、それらは初めの方程式においては負であり、後の方程式では正である。 しかし、この規則から、いくつの根が不可能であるかをまったく知ることができるだろう。

ニュートン算

ニュートン算 (Newton's pasturage problem) と呼ばれる算術問題は、Arithmetica に収録されている問題に由来する。 問題文は次の通りである。

原文 (英語) :

 PROBLEM XI. If the Number of Oxen a eat up the Meadow b in the Time c; and the Number of Oxen d eat up as good a Piece of Pasture e in the Time f, and the Grass grows uniformly; to find how many Oxen will eat up the like Pasture g in the Time h.

— Sir Isaac Newton, Edmond Halley、 Universal Arithmetick, How a Question may be brought to an Æquation, 1720.

日本語訳 :

　問十一. a 頭の牛は b の牧草地を c の時間のうちに食べ尽くし、d 頭の牛は e の牧草地を f の時間のうちに食べ尽くす。また牧草は一様に育つものとする。牛が g の牧草地を h の時間のうちに食べ尽くすには何頭いればよいか求めよ。

この直後には、ニュートンによる問題の解説と例題が書かれている。内容は次の通りである。

解説文原文 (英語) :

 If the Oxen a in the Time c eat up the Pasture b; then by Proportion, the Oxen e/ba in the same Time c, or the Oxen ec/bfa in the Time f, or the Oxen ec/bha in the Time h will eat up the Pasture e; supposing the Grass did not grow [at all] after the Time c. But since, by reason of the Growth of the Grass, all the Oxen d in the Time f can eat up only the Meadow e, wherefore that Growth of the Grass in the Meadow e, in the Time f − c, will be so much as alone would be. sufficient to feed the Oxen d − eca/bf the Time f, that is as much as would suffice to feed the Oxen df/b − eca/bh in the Time h. And in the Time h − c, by Proportion, so much would be the Growth of the Grass as would be sufficient to feed the Oxen h − c/f − c into df/h − eca/bh or bdfh − ecah − bdcf aecc/bfh − bch. Add this Increment to the Oxen aec/bh, and there will come out bdfh − ecah − bdcf ecfa/bfh − bch, the Number of Oxen which the Pasture e will suffice to feed in the Time h. And so by [in] Proportion the Meadow g will suffice to feed the Oxen gbdfh − ecagh − bdcgf ecfga/befh − bceh during the same Time h.

— Sir Isaac Newton, Edmond Halley、 Universal Arithmetick, How a Question may be brought to an Æquation, 1720.

日本語訳 :

　a 頭の牛が c の時間のうちに b の牧草地を食べ尽くすなら、それぞれの数の比から、牧草が時間 c の後には少しも成長しないとして、e/ba 頭の牛は同じく c の時間のうちに、ec/bfa 頭の牛は f の時間のうちに、また ec/bha 頭の牛は h の時間のうちに、e の牧草地を食べ尽くすだろう。しかし牧草が育つことによって、d 頭の牛だけが f の時間のうちに e の牧草地を食べ尽くすことができて、e の牧草地の牧草が、時間 f − c の間に育つことにより、d − eca/bf 頭の牛が f の時間のうちに食べ尽くせる分だけが育ち、それは df/b − eca/bh 頭の牛が h の時間のうちに食べ尽くせるだけと同じ量である。更に比の関係から、h − c の時間に df/h − eca/bh 割る b − c/f − c つまり bdfh − ecah − bdcf ecfa/bfh − bch 頭の牛が食べ尽くせるだけの牧草が育つ。この増加分を aec/bh 頭の牛に加えると、bdfh − ecah − bdcf ecfa/bfh − bch が e の牧草地を h の時間のうちに食べ尽くす牛の頭数である。 そして比から g の牧草地を同じ時間 h の間に食べ尽くす牛の数は gbdfh − ecagh − bdcgf ecfga/befh − bceh であることが求まる。

例題原文 (英語版) :

EXAMPLE. If 12 Oxen eat up 3 1/3 Acres of Pasture in 4 Weeks, and 21 Oxen eat up 10 Acres of like Pasture in 9 Weeks; to find how many Oxen will eat up 36 Acres in 18 Weeks? Answer 36; for that Number will be found substituting in bdfgh − ecagh − bdcgf ecfga/befh − bceh the Numbers 12, 3 1/3, 4, 21, 10, 9, 36, and 18 for the Letters a, b, c, d, e, f, g, and h respectively; but the Solution, perhaps, will be no less expedite, if it be brought out from the first Principles, in Form of the precedent literal Solution. As if 12 Oxen in 4 Weeks eat up 3 1/3 Acres, then by Proportion 36 Oxen in 4 Weeks, or 16 Oxen in 9 Weeks, or 8 Oxen in 18 Weeks, will eat up 10 Acres, on Supposition that the Grass did not grow. But since by reason of the Growth of the Grass 21 Oxen in 9 Weeks can eat up only 10 Acres, that Growth of the Grass in 10 Acres for the last 5 Weeks will be as much as would be sufficient to feed 5 Oxen, that is the Excess of 21 above 16 for 9 Weeks, or, what is the same Thing, to feed 5/2 Oxen for 18 Weeks. And in 14 Weeks (the Excess of 18 above the first 4) the Increase of the Grass, by Analogy, will be such, as to be sufficent to feed 7 Oxen for 18 Weeks: Add these 7 Oxen, which the Growth of the Grass alone would suffice to feed, to the 8, which the Grass without Growth after 4 Weeks would feed, and the Sum will be 15 Oxen. And, lastly, if 10 Acres suffice to feed 15 Oxen for 18 Weeks, then, in Proportion, 24 Acres would suffice 36 Oxen for the same Time.

— Sir Isaac Newton, Edmond Halley、 Universal Arithmetick, How a Question may be brought to an Æquation, 1720.

日本語訳 :

例題. 12 頭の牛は 3 と 1/3 エーカーの牧草地を 4 週間で食べ尽くし、21 頭の牛は 10 エーカーの牧草地を 9 週間で食べ尽くすとする。36 エーカーの牧草地を 18 週間で食べ尽くす牛の頭数はいくらか。 　答え 36 頭。求める数は bdfgh − ecagh − bdcgf ecfga/befh − bceh の a, b, c, d, e, f, g, h をそれぞれ 12, 3 1/3, 4, 21, 10, 9, 36, 18 に置き換えることで得られるだろうが、しかし、前述の文字式の解を求めるのとおそらくは同様の手間で、第一原理から解を導くこともできるだろう。12 頭の牛が 4 週間で 3 と 1/3 エーカーの牧草地を食べ尽くすなら、牧草が育たないことを仮定すれば、数の比から 36 頭の牛が 4 週間で、16 頭の牛が 9 週間で、8 頭の牛が 18 週間で、10 エーカーの牧草地を食べ尽くすことになる。しかし牧草が育つことにより、21 頭の牛だけが 9 週間で 10 エーカーの牧草地を食べ尽くすことができ、5 週間で 10 エーカーの牧草地に育つ牧草は 5 頭の牛が食べ尽くす分、つまり 21 頭の内の 16 頭が 9 週間に食べる分を除いた余りと同じだけあり、また同じことだが、5/2 頭の牛が 18 週間で食べる分と同じである。更に 14 週間（18 週間から初めの 4 週間を除いた余り）に増える牧草の量は、7 頭の牛が 18 週間に食べるだけと同じであることも推察できる。7 頭の牛は牧草の育った分だけを食べ、8 頭の牛が 4 週間以降に育った牧草以外を食べ、これらを合わせると牛の頭数は 15 になる。そして最後に、10 エーカーの牧草地を 15 頭の牛が 18 週間で食べ尽くすなら、比によって、24 エーカーの牧草地を 36 頭の牛は同じ時間で食べ尽くすことが分かる。

1769年英語版の目次

[表題] - [節番号(Article Numb.)]

• Part I
  • Notation (記法) - I.
  • Addition (加法) - XVIII.
  • Subtraction (減法) - XXV.
  • Multiplication (乗法) - XXVIII.
  • Division (除法) - XXXIV.
  • Extraction of Roots (開法) - XLI.
  • Reduction of Fractions (約分) - XLVIII.
  • Invention of Divisors (約数) - XLIX.
  • Reduction of Fractions to a common Denominator (通分) - LIX.
  • Reduction of Radical Quantities (冪根の簡約化) - LX.
    • to their least Terms - LX.
    • to the same Denominator - LXI.
    • to more simple Radicals, by the Extraction of Roots - LXII.
  • Forms of Equations - LXV.
  • Reduction of Final Equations - LXVII.
    • ordering a Single or Final Equation - LXVII.
  • Reduction of Medial Equations - LXXV.
    • Transformation of two or more Equations into one, in order to exterminate the unknown Quantities - LXXV.
    • Extermination of an unknown Quantity by Equality of its Values - LXXVI.
    • Extermination of an unknown Quantity, by substituting its Value for it - LXXVII.
    • Extermination of an unknown Quantity of several Dimensions in each Equation - LXXVIII.
    • Method of taking away any number of Surd Quantities out of Equations - LXXXI.
  • Resolution of Arithmetical Questions - LXXXII.
    • How a Question may be brought to an Equation - LXXXII.
      • 16 Problems
  • Resolution of Geometrical Questions - LXXXIII.
    • How Geometrical Questions may be reduced to Equations - LXXXIII.
      • 61 Problems
• Part II
  • Nature of the Roots of Equations - CX.
  • Transmutations of Equations - CXXIII.
  • Limits of the Roots of Equations - CXXXII.
  • Reduction of Equations by Surd Divisors - CXL.
• Appendix
  • Linear Construction of Equations
  • Roots of Numeral Equations by their Limits (by Colin Maclaurin)
  • Method of Series by which you may approximate to Roots of Literal Equations (by Colin Maclaurin)
  • Measures of Ratios (by James Maguire)

参考文献

• Universal arithmetick from Open Library, published 1769
• The Arithmetica Universalis from the Grace K. Babson Collection, including links to PDFs of English and Latin versions of the Arithmetica
• Centre College Library information on Newton's works
• J. J. Sylvester, On the real and imaginary roots of algebraical equations, 1865, from Goettinger Digitalisierungszentrum (GDZ)

関連項目

• アイザック・ニュートン
• 光学 (アイザック・ニュートン) (Opticks)
• 自然哲学の数学的諸原理（プリンキピア）
• ニュートン算
• コリン・マクローリン
• ブルック・テイラー
• テイラー展開
• テイラーの定理
• 代数学