無限算術級数

数学における無限算術級数（むげんさんじゅつきゅうすう、英: infinite arithmetic series）は、その項が算術数列を成す無限級数を言う。1 1 1 1 · · · や 1 2 3 4 · · · はその例であるが、無限算術級数の一般形は $$\sum _{n=0}^{\infty }(an b)$$ と書ける。a = b = 0 のときは級数の和も 0 であるが、a, b のどちらかが非零ならば、級数は発散して通常の意味では和を持たない。

ゼータ正則化

正しい形 (the right form) での算術級数のゼータ正則化和は、対応するフルヴィッツゼータ函数の値として $$\sum _{n=0}^{\infty }(n \beta )=\zeta _{\text{H}}(-1;\beta )$$ で与えられる。ゼータ正則化和 1 1 1 1 ⋯ は ζ_R(0) = −1/2 に、また 1 2 3 4 ⋯ は ζ_R(−1) = −1/12 に（ゼータとしてはリーマンゼータ函数 ζ_R をとって）割り当てられるけれども、上記の和が ${\textstyle -{\frac {1}{12}}-{\frac {\beta }{2}}}$ に等しいとは一般にはならない。

参考文献

• Brevik, I.; Nielsen, H. B. (February 1990). “Casimir energy for a piecewise uniform string”. Physical Review D 41 (4): 1185–1192. doi:10.1103/PhysRevD.41.1185. 
• Elizalde, E. (May 1994). “Zeta-function regularization is uniquely defined and well”. Journal of Physics A: Mathematical and General 27 (9): L299–L304. doi:10.1088/0305-4470/27/9/010.  (arXiv preprint)
• Li, Xinzhou; Shi, Xin; Zhang, Jianzu (July 1991). “Generalized Riemann ζ-function regularization and Casimir energy for a piecewise uniform string”. Physical Review D 44 (2): 560–562. doi:10.1103/PhysRevD.44.560. 

関連項目

• 1 − 2 3 − 4 ⋯