数学 において、多項式 の判別式 （はんべつしき、英 : discriminant ）とは、その多項式の根が重根を持つための条件 を与える、元の多項式係数の多項式 で、最小のもののことである。
一般にdiscriminantの頭文字を取って、D で表記される。
"discriminant"（判別式）という用語は1851年 にイギリス人数学者ジェームス・ジョセフ・シルベスター によって造り出された[ 1]
通常は、大文字の D あるいは大文字の Δ
具体的には、以下の式で定義される：
x の n 次式
an xn a n −1x n −1a 1 x a 0 (an ≠ 0)の重複を含めた根 を α 1 , …, αn
D
=
a
n
2
n
−
2
∏
i
,
j
(
i
<
j
)
(
α
i
−
α
j
)
2
=
(
−
1
)
n
(
n
−
1
)
/
2
a
n
2
n
−
2
∏
i
,
j
(
i
≠
j
)
(
α
i
−
α
j
)
{\displaystyle D={a_{n}}^{2n-2}\textstyle \prod \limits _{i,j(i<j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}=(-1)^{n(n-1)/2}{a_{n}}^{2n-2}\prod \limits _{i,j(i\neq j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})}
この定義式は、次の手順から、係数 an , a n −1a 1 , a 0
D は α 1 , …, αn 対称式 である。α 1 , …, αn α 1 , …, αn 基本対称式 の多項式で表せる。α 1 , …, αn 根と係数の関係 より、α 1 , …, αn 判別式 D を係数 an , a n −1a 1 , a 0 終結式 （シルヴェスター行列 の行列式 ）を用いるのが最も簡明である：
多項式 f の判別式 D は、f とその導関数 f' の終結式に
(
−
1
)
n
(
n
−
1
)
/
2
a
n
{\displaystyle {\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}}
D
=
(
−
1
)
n
(
n
−
1
)
/
2
a
n
|
a
n
a
n
−
1
⋯
⋯
a
0
⋱
⋱
⋱
a
n
a
n
−
1
⋯
⋯
a
0
n
a
n
(
n
−
1
)
a
n
−
1
⋯
1
a
1
⋱
⋱
⋱
⋱
⋱
⋱
n
a
n
(
n
−
1
)
a
n
−
1
⋯
1
a
1
|
{\displaystyle D={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}{\begin{vmatrix}a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}&&\\&\ddots &\ddots &&&\ddots &\\&&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}\\na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}&&&\\&\ddots &\ddots &&\ddots &&\\&&\ddots &\ddots &&\ddots &\\&&&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}\end{vmatrix}}}
（対角成分に an が (n − 1) 個、1a 1 が n 個） 二次方程式 ax 2 bx c = 0
Δ
=
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac}
である。
三次方程式 ax 3 bx 2 cx d = 0
Δ
=
b
2
c
2
−
4
a
c
3
−
4
b
3
d
−
27
a
2
d
2
18
a
b
c
d
{\displaystyle \Delta =b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2} 18abcd}
である。
四次方程式 ax 4 bx 3 cx 2 dx e = 0
Δ
=
256
a
3
e
3
−
192
a
2
b
d
e
2
−
128
a
2
c
2
e
2
144
a
2
c
d
2
e
−
27
a
2
d
4
144
a
b
2
c
e
2
−
6
a
b
2
d
2
e
−
80
a
b
c
2
d
e
18
a
b
c
d
3
16
a
c
4
e
−
4
a
c
3
d
2
−
27
b
4
e
2
18
b
3
c
d
e
−
4
b
3
d
3
−
4
b
2
c
3
e
b
2
c
2
d
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta =&\;256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2} 144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}\\&\ 144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de 18abcd^{3} 16ac^{4}e\\&\ -4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2} 18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e b^{2}c^{2}d^{2}\end{aligned}}}
である。
より高次の方程式に対しても、判別式は定義され、係数たちの多項式であるが、その式は非常に長大なものになる。五次方程式 の判別式は 59 の項を持ち[ 2] 六次方程式 の判別式は 246 の項を持ち[ 3] [要出典 。
（具体的な高次方程式の判別式を最初の定義式に基づいて求めようとすると、長大な係数の多項式になり、計算すると時間がかかる。判別式を終結式の形で表し、そこでの係数の値で表された行列式を計算するのが良い。あるいは係数全体にごく少数の変数だけが含まれている場合にも、終結式を用いて計算をするのが良い。） 四次までの代数方程式 に対しては、判別式は解の公式に現れるため、判別式の定義とは、解の公式の一部と誤解されがちである。しかし五次以上の代数方程式には解の公式が存在しない（アーベル-ルフィニの定理 ）が、判別式は常に定義される。
定義から、判別式の値が 0 であるのは、重根（すなわち重複度 が 2以上の根）が存在することと同値 である。
実数係数の代数方程式の実数解の個数は、二次方程式では、判別式の符号 が正か零か負かにより2個、1個（重複度2）、0個と判別できるが、三次の場合にはそれぞれ3個、2個（片方は重複度2）あるいは1個（重複度3），1個となる。
このように三次以上では、判別式以外にも指標となる式が必要となる。
判別式の概念は、方程式の係数が複素数 体に含まれていない場合にも適用できる。係数が整域 R に属していれば定義され、この場合に判別式は R の元である。特に、整数係数多項式の判別式は常に整数である。この性質は数論 において広く用いられる。
f (x ) = an xn a n −1x n −1a 1 x a 0 (an ≠ 0)とする。n 次方程式 f (x ) = 0代数学の基本定理 より、重複を含めて n 個の複素数 解が存在する。それらを α 1 , …, αn 多項式 f あるいは代数方程式 f (x ) = 0判別式 という。
a
n
2
n
−
2
∏
i
,
j
(
i
<
j
)
(
α
i
−
α
j
)
2
{\displaystyle {a_{n}}^{2n-2}\textstyle \prod \limits _{i,j(i<j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}}
=
(
−
1
)
n
(
n
−
1
)
/
2
a
n
|
a
n
a
n
−
1
⋯
⋯
a
0
⋱
⋱
⋱
a
n
a
n
−
1
⋯
⋯
a
0
n
a
n
(
n
−
1
)
a
n
−
1
⋯
1
a
1
⋱
⋱
⋱
⋱
⋱
⋱
n
a
n
(
n
−
1
)
a
n
−
1
⋯
1
a
1
|
{\displaystyle ={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}{\begin{vmatrix}a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}&&\\&\ddots &\ddots &&&\ddots &\\&&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}\\na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}&&&\\&\ddots &\ddots &&\ddots &&\\&&\ddots &\ddots &&\ddots &\\&&&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}\end{vmatrix}}}
（対角成分に an が (n − 1) 1a 1 が n 個） （注）
（注1）左辺の「
∏
i
,
j
(
i
<
j
)
(
α
i
−
α
j
)
2
{\displaystyle \textstyle \prod \limits _{i,j(i<j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}}
α 1 , …, αn 差積 の平方であり、ヴァンデルモンドの行列式 として表すことができる。
（注2）この行列式は、第1列が an で割り切れるため、右辺は a n −1a 0 (2n − 2) 斉次多項式 である。
（注3）この行列式の部分は f と f' の終結式 (resultant) であり、記号で
Res
(
f
,
f
′
)
{\displaystyle \operatorname {Res} (f,f')}
ここでは、文献[ 4]
（証明）
∏
i
,
j
(
i
<
j
)
(
α
i
−
α
j
)
2
{\displaystyle \textstyle \prod \limits _{i,j(i<j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}}
=
(
−
1
)
n
(
n
−
1
)
/
2
∏
i
,
j
(
i
≠
j
)
(
α
i
−
α
j
)
{\displaystyle =(-1)^{n(n-1)/2}\textstyle \prod \limits _{i,j(i\neq j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})}
=
(
−
1
)
n
(
n
−
1
)
/
2
∏
i
=
1
n
∏
j
(
j
≠
i
)
(
α
i
−
α
j
)
⋯
(
1
)
{\displaystyle =(-1)^{n(n-1)/2}\textstyle \prod \limits _{i=1}^{n}\prod \limits _{j(j\neq i)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})\quad \cdots \ (1)}
f
(
x
)
=
a
n
∏
j
=
1
n
(
x
−
α
j
)
{\displaystyle f(x)=a_{n}\textstyle \prod \limits _{j=1}^{n}(x-\alpha _{j})}
f
′
(
x
)
=
a
n
∑
k
=
1
n
∏
j
(
j
≠
k
)
(
x
−
α
j
)
{\displaystyle f'(x)=a_{n}\textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}\prod \limits _{j(j\neq k)}(x-\alpha _{j})}
f
′
(
α
i
)
=
a
n
∏
j
(
j
≠
i
)
(
α
i
−
α
j
)
⋯
(
2
)
{\displaystyle f'(\alpha _{i})=a_{n}\textstyle \prod \limits _{j(j\neq i)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})\quad \cdots \ (2)}
ここで、f' (x ) = 0β 1 , …, β n −1
f
′
(
x
)
=
n
a
n
∏
j
=
1
n
−
1
(
x
−
β
j
)
{\displaystyle f'(x)=na_{n}\textstyle \prod \limits _{j=1}^{n-1}(x-\beta _{j})}
f
′
(
α
i
)
=
n
a
n
∏
j
=
1
n
−
1
(
α
i
−
β
j
)
⋯
(
3
)
{\displaystyle f'(\alpha _{i})=na_{n}\textstyle \prod \limits _{j=1}^{n-1}(\alpha _{i}-\beta _{j})\quad \cdots \ (3)}
(2) = (3) より、an ≠ 0
∏
j
(
j
≠
i
)
(
α
i
−
α
j
)
=
n
∏
j
=
1
n
−
1
(
α
i
−
β
j
)
⋯
(
4
)
{\displaystyle \textstyle \prod \limits _{j(j\neq i)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})=n\prod \limits _{j=1}^{n-1}(\alpha _{i}-\beta _{j})\quad \cdots \ (4)}
(4) を (1) に代入すると、
∏
i
,
j
(
i
<
j
)
(
α
i
−
α
j
)
2
=
(
−
1
)
n
(
n
−
1
)
/
2
n
n
∏
i
,
j
(
α
i
−
β
j
)
⋯
(
5
)
{\displaystyle \textstyle \prod \limits _{i,j(i<j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}=(-1)^{n(n-1)/2}n^{n}\prod \limits _{i,j}(\alpha _{i}-\beta _{j})\quad \cdots \ (5)}
ここで、終結式 f (x ) = an xn a n −1x n −1a 1 x a 0 (an ≠ 0)α 1 , …, αn g (x ) = bm xm b m −1x m −1b 1 x b 0 (bm ≠ 0)β 1 , …, βm とすると、次が成り立つ：
a
n
m
b
m
n
∏
i
,
j
(
α
i
−
β
j
)
=
|
a
n
a
n
−
1
⋯
⋯
a
0
⋱
⋱
⋱
a
n
a
n
−
1
⋯
⋯
a
0
b
m
b
m
−
1
⋯
b
0
⋱
⋱
⋱
⋱
⋱
⋱
b
m
b
m
−
1
⋯
b
0
|
{\displaystyle {a_{n}}^{m}{b_{m}}^{n}\textstyle \prod \limits _{i,j}(\alpha _{i}-\beta _{j})={\begin{vmatrix}a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}&&\\&\ddots &\ddots &&&\ddots &\\&&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}\\b_{m}&b_{m-1}&\cdots &b_{0}&&&\\&\ddots &\ddots &&\ddots &&\\&&\ddots &\ddots &&\ddots &\\&&&b_{m}&b_{m-1}&\cdots &b_{0}\end{vmatrix}}}
（対角成分に an が m 個、b 0 n 個）
この等式を f , f'
a
n
n
−
1
(
n
a
n
)
n
∏
i
,
j
(
α
i
−
β
j
)
{\displaystyle {a_{n}}^{n-1}(na_{n})^{n}\textstyle \prod \limits _{i,j}(\alpha _{i}-\beta _{j})}
=
|
a
n
a
n
−
1
⋯
⋯
a
0
⋱
⋱
⋱
a
n
a
n
−
1
⋯
⋯
a
0
n
a
n
(
n
−
1
)
a
n
−
1
⋯
1
a
1
⋱
⋱
⋱
⋱
⋱
⋱
n
a
n
(
n
−
1
)
a
n
−
1
⋯
1
a
1
|
⋯
(
6
)
{\displaystyle ={\begin{vmatrix}a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}&&\\&\ddots &\ddots &&&\ddots &\\&&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}\\na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}&&&\\&\ddots &\ddots &&\ddots &&\\&&\ddots &\ddots &&\ddots &\\&&&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}\end{vmatrix}}\quad \cdots \ (6)}
(5), (6) より、
a
n
2
n
−
2
∏
i
,
j
(
i
<
j
)
(
α
i
−
α
j
)
2
{\displaystyle {a_{n}}^{2n-2}\textstyle \prod \limits _{i,j(i<j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}}
=
(
−
1
)
n
(
n
−
1
)
/
2
a
n
|
a
n
a
n
−
1
⋯
⋯
a
0
⋱
⋱
⋱
a
n
a
n
−
1
⋯
⋯
a
0
n
a
n
(
n
−
1
)
a
n
−
1
⋯
1
a
1
⋱
⋱
⋱
⋱
⋱
⋱
n
a
n
(
n
−
1
)
a
n
−
1
⋯
1
a
1
|
◼
{\displaystyle ={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}{\begin{vmatrix}a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}&&\\&\ddots &\ddots &&&\ddots &\\&&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}\\na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}&&&\\&\ddots &\ddots &&\ddots &&\\&&\ddots &\ddots &&\ddots &\\&&&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}\end{vmatrix}}\ \blacksquare }
代数方程式 の判別式を、終結式による式で計算してみる。判別式を D とおく。
二次方程式 を
f (x ) = ax 2 bx c = 0とおく。
f' (x ) = 2ax b
D
=
(
−
1
)
2
⋅
(
2
−
1
)
/
2
a
|
a
b
c
2
a
b
2
a
b
|
=
−
|
1
b
c
2
b
2
a
b
|
(
expand by Sarrus' rule
)
=
−
{
(
b
2
4
a
c
)
−
2
b
2
}
=
b
2
−
4
a
c
/
/
{\displaystyle {\begin{aligned}D=&\;{\frac {(-1)^{2\cdot (2-1)/2}}{a}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\2a&b&\\&2a&b\end{vmatrix}}\\=&\;-{\begin{vmatrix}1&b&c\\2&b&\\&2a&b\end{vmatrix}}\quad ({\mbox{expand by Sarrus' rule}})\\=&\;-\{(b^{2} 4ac)-2b^{2}\}\\=&\;b^{2}-4ac\quad //\end{aligned}}}
二次方程式 f (x ) = ax 2 bx c = 0b が 2 を因数に持つ場合、
b = 2b' とおくと、
D
4
=
b
′
2
−
a
c
{\displaystyle {\frac {D}{4}}=b'^{2}-ac}
となる[ 5]
二次方程式の係数が実数である場合に、実数解の個数を判定するのによく用いられる。
三次方程式 を
f (x ) = x 3 px q = 0とおく。
f' (x ) = 3x 2 p
D
=
(
−
1
)
3
⋅
(
3
−
1
)
/
2
1
|
1
0
p
q
1
0
p
q
3
0
p
3
0
p
3
0
p
|
(
eliminate 3rd row by 1st row, 4th row by 2nd row
)
=
−
|
1
0
p
q
1
0
p
q
0
0
−
2
p
−
3
q
0
0
−
2
p
−
3
q
3
0
p
|
=
−
|
−
2
p
−
3
q
0
−
2
p
−
3
q
3
0
p
|
(
expand by Sarrus' rule
)
=
−
(
4
p
3
27
q
2
)
/
/
{\displaystyle {\begin{aligned}D=&\;{\frac {(-1)^{3\cdot (3-1)/2}}{1}}{\begin{vmatrix}1&0&p&q&\\&1&0&p&q\\3&0&p&&\\&3&0&p&\\&&3&0&p\end{vmatrix}}\\&\\&({\mbox{eliminate 3rd row by 1st row, 4th row by 2nd row}})\\&\\=&\;-{\begin{vmatrix}1&0&p&q&\\&1&0&p&q\\0&0&-2p&-3q&\\&0&0&-2p&-3q\\&&3&0&p\end{vmatrix}}\\=&\;-{\begin{vmatrix}-2p&-3q&\\0&-2p&-3q\\3&0&p\end{vmatrix}}\quad ({\mbox{expand by Sarrus' rule}})\\=&\;-(4p^{3} 27q^{2})\quad //\end{aligned}}}
一般の三次方程式 ax 3 bx 2 cx d = 0
Δ
=
b
2
c
2
−
4
a
c
3
−
4
b
3
d
−
27
a
2
d
2
18
a
b
c
d
{\displaystyle \Delta =b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2} 18abcd}
である。
5次以上の代数方程式 には、解の公式が存在しない（アーベル-ルフィニの定理 ）。
4次以下の代数方程式には、解の公式に判別式が現れる。
二次方程式
f (x ) = ax 2 bx c = 0の解には、判別式 Δ が含まれる：
x
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
=
−
b
±
Δ
2
a
{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a}}}
係数 a , b , c
Δ > 0f (x ) = 0Δ = 0f (x ) = 0重解は
x
=
−
b
2
a
{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}
Δ < 0f (x ) = 0共役 虚数解をもつ。
虚数解は
x
=
−
b
±
i
−
Δ
2
a
{\displaystyle x={\frac {-b\pm i{\sqrt {-\Delta }}}{2a}}}
より一般に、実数係数の n 次代数方程式 に対して、
Δ > 0
0
≤
k
≤
n
4
{\displaystyle 0\leq k\leq {\frac {n}{4}}}
k に対して、2k 対の共役虚数解と (n − 4k ) 個の実数解があり、全て異なる；Δ < 0
0
≤
k
≤
n
−
2
4
{\displaystyle 0\leq k\leq {\frac {n-2}{4}}}
k に対して、(2k 1) 対の共役虚数解と (n − 4k − 2) 個の実数解があり、全て異なる；Δ = 0係数が一般の可換環 上の代数方程式 に対しても、判別式を定義することができる。ただし、環が整域 でない場合、そのような環においては除法が常には定義されないから、行列式の第1列を最高次係数
a
n
{\displaystyle a_{n}}
代数幾何学 において基本的な次の性質を持つ。
f を係数を可換環 A に持つ多項式とし、D をその判別式とする。φ を A から体 K の中への環準同型 とし、φ(f ) を f の係数を φ によるそれらの像によって置き換えて得られる K 上の多項式とする。すると φ(D ) = 0 であるのは f と φ(f ) の次数の差が少なくとも 2 であるかまたは φ(f ) が K の代数閉包 において重根を持つとき、かつそのときに限る。1つ目のケースは φ(f ) が無限遠点で重根を持つと解釈できる。
この性質が応用される典型的な状況は A が体 k 上の（一変数あるいは多変数）多項式環であり φ が A の不定元への k の体拡大 K の元の代入であるときである。
例えば、f が実係数の X と Y の二変数多項式であって、f = 0 は平面代数曲線 の陰方程式であるとしよう。f を Y についての（係数が X の式である）一変数多項式と見ると、判別式は根が特異点、Y 軸に平行な接線との点、Y 軸に平行な漸近線のいくつか、の X 座標であるような、X の多項式である。言い換えると Y -判別式と X -判別式の根の計算によって変曲点 を除いて曲線のすべての注目すべき点を計算できる。
判別式の概念は一変数の多項式に加えて円錐曲線 、二次形式 、代数体 （英語版 ） 代数的構造 に一般化されている。代数的整数論 における判別式は密接に関係し、分岐 についての情報を含む。実は、分岐のより幾何的なタイプは判別式のより抽象的なタイプにも関係し、それによって多くの応用においてこれが中心的な代数的アイデアになる。
二元二次方程式
A
x
2
B
x
y
C
y
2
D
x
E
y
F
=
0
{\displaystyle Ax^{2} Bxy Cy^{2} Dx Ey F=0\,}
で表される平面幾何における円錐曲線 に対して、判別式は[ 6]
B
2
−
4
A
C
{\displaystyle B^{2}-4AC}
に等しく、円錐曲線の形 （英語版 ） 楕円 か円 の方程式である。判別式が 0 に等しければ、放物線 の方程式である。判別式が 0 よりも大きければ、双曲線 の方程式である。この公式は退化の場合（多項式が分解するとき）働かない。
判別式は、標数 ≠ 2 の任意の体 K 上の二次形式 Q へ実質的に一般化できる。標数 2 に対しては、対応する不変量はアーフ不変量 （英語版 ）
二次形式 Q が与えられたとき、その判別式 (discriminant) または行列式 (determinant) は Q の対称行列 S の行列式である[ 7]
行列 A による変数変換で対称行列は
A
T
S
A
{\displaystyle A^{T}SA}
(
det
A
)
2
det
S
{\displaystyle (\det A)^{2}\det S}
K /(K * )2 において well-defined である。すなわち、0 でない平方を除いて定まる。平方剰余 も参照。
あまり直観的でないが、（二次形式に関する）ヤコビの定理によって、
K
n
{\displaystyle K^{n}}
a
1
x
1
2
⋯
a
n
x
n
2
{\displaystyle a_{1}{x_{1}}^{2} \cdots a_{n}{x_{n}}^{2}}
として対角形式 (diagonal form) で表現できる。より正確には、V 上の二次形式を和
∑
i
=
1
n
a
i
L
i
2
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}{L_{i}}^{2}}
として表現できる、ここで Li は独立な線型形式であり n は変数の数である（ai のいくつかは 0 でもよい）。すると判別式は ai の積であり、これは K /(K * )2 における類として well-defined である。
K =R （実数体）に対して、(R * )2 は正の実数全体であり（任意の正数は 0 でない数の平方である）、したがって商 R /(R * )2 は 3 つの元、正、0、負を持つ。これは符号 （英語版 ） n 0 , n , n − ) よりも粗い不変量である。ここで n 0 は対角形式における 0 の数であり n ± は ±1 の数である。すると判別式は、形式が退化 (
n
0
>
0
{\displaystyle n_{0}>0}
(
−
1
)
n
−
{\displaystyle (-1)^{n_{-}}}
K =C （複素数体）に対して、(C * )2 は 0 でない複素数であり（任意の複素数は平方である）、したがって商 C /(C * )2 は 2 つの元、非零と零からなる。
この定義は二次多項式の判別式に一般化される。多項式
a
x
2
b
x
c
{\displaystyle ax^{2} bx c}
a
x
2
b
x
y
c
y
2
{\displaystyle ax^{2} bxy cy^{2}}
[
a
b
/
2
b
/
2
c
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b/2\\b/2&c\end{bmatrix}}}
で表現され、この行列式は
a
c
−
(
b
/
2
)
2
=
a
c
−
b
2
/
4
{\displaystyle ac-(b/2)^{2}=ac-b^{2}/4}
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle b^{2}-4ac}
実形式の判別式の類の不変量（正、0、負）は、実形式が対応する円錐曲線楕円、放物線、双曲線にそれぞれ対応する。
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（2008年12月 ）
判別式は根たちの対称式 である。その平方根（各冪の半分：ヴァンデルモンド多項式 ）を n 変数の対称多項式の環
Λ
n
{\displaystyle \Lambda _{n}}
交代式 の環を得、これはしたがって
Λ
n
{\displaystyle \Lambda _{n}}
簡単にいえば、判別式はその定義式の形から、その平方根は根の偶置換により不変であり、奇置換により符号が反転する。
^ J. J. Sylvester (1851) "On a remarkable discovery in the theory of canonical forms and of hyperdeterminants," Philosophical Magazine , 4th series, 2 : 391-410; Sylvester coins the word "discriminant" on page 406 .
^ Gelfand, I. M.; Kapranov, M. M.; Zelevinsky, A. V. (1994). Discriminants, resultants and multidimensional determinants ISBN 3-7643-3660-9 . https://academic.oup.com/blms/article-abstract/28/1/96/262195?redirectedFrom=fulltext Preview page 1 ^ Dickenstein, Alicia; Emiris, Ioannis Z. (2005). Solving polynomial equations: foundations, algorithms, and applications ISBN 3-540-24326-7 . https://books.google.co.jp/books?id=rSs-pQNrO_YC&redir_esc=y&hl=ja Chapter 1 page 26 ^ 吾郷孝視、細尾敏男、田中隆一『線形代数問題集』（単行本）森北出版 〈基礎数学問題集シリーズ1〉、1989年1月1日、40,41,134頁。ISBN 978-4627045101 。 ^ 二次方程式の一次項が偶数の時に簡便な計算方法として利用されるほか、コーシー＝シュワルツの不等式 の一般解を二次式と判別式で証明する際などに利用されることがある。
^ Fanchi, John R. (2006), Math refresher for scientists and engineers ISBN 0-471-75715-2 , https://books.google.co.jp/books?id=75mAJPcAWT8C&redir_esc=y Section 3.2, page 45 ^ J.W.S. Cassels (1978). Rational Quadratic Forms . London Mathematical Society Monographs. 13 . Academic Press . p. 6. ISBN 0-12-163260-1 . Zbl 0395.10029
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