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単連結な3次元閉多様体は3次元球面 S³ に同相である。

という唯一証明された問題は何でしょう。

エルデシュ数とよばれる、数学者同士、あるいはもっと広く科学者同士の、共著論文による結び付きにおいて、ハンガリー出身の数学者ポール・エルデシュとどれだけ近いかを表す概念がある。

正65537角形は作図可能である。数学者ヨハン・グスタフ・ヘルメスは10年の歳月をかけこの図形の作図方法を調べ、1894年、発表した。

円周率πは、下の式で求められます。

\pi =2\int _{0}^{1}{\mathrm {d} x \over {\sqrt {1-x^{2}}}}

では、

\varpi =2\int _{0}^{1}{\mathrm {d} r \over {\sqrt {1-r^{4}}}}

で求められる定数は何でしょう。

$1 {\cfrac {1}{2 {\cfrac {1}{2 {\cfrac {1}{2 {\cfrac {1}{2 {\cfrac {1}{2 {\cfrac {1}{2 {\cfrac {1}{\cdots }}}}}}}}}}}}}}$

なる連分数で表されたこの数は何でしょう。

クロネッカーの青春の夢と呼ばれる、類体の構成に関する問題がある。この名前は、クロネッカーがデデキントへ宛てた手紙の中で、この命題の証明を「私の最愛の青春の夢」(mein liebster Jugendtraum)と書いたことに由来する。

pを素数とし、(p,p 2,p 4)が全て素数の三つ組になるpは3だけであることを証明しなさい。

自然数の逆二乗和

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}} {\frac {1}{2^{2}}} {\frac {1}{3^{2}}} {\frac {1}{4^{2}}} {\frac {1}{5^{2}}}\cdots$

は何に収束するでしょうか。

n段の階段を1段と2段に分けて上るとき、階段の上り方は何通りあるでしょう。

偶数の完全数は $2^{m}-1$ が素数の時の $2^{m-1}(2^{m}-1)$ の形しかありません。