双曲線(そうきょくせん、英: hyperbola)とは、2次元ユークリッド空間 ℝ2 上で定義され、ある2点 F, F' からの距離の「差が一定」であるような曲線の総称である。
この2点 F, F' は焦点と呼ばれる。2点 F, F' を通る直線と2点 F, F' の垂直二等分線は主軸と呼ばれる。
2次元直交座標系において、双曲線の2焦点の座標をそれぞれ , 、焦点からの距離の差の絶対値を とする。このとき双曲線の方程式は、次のように表される。これを一般形という。
この方程式は、うまく式変形することにより、必ず
(ただし は実数)
という形に表すことができる。証明は以下の通り。
双曲線の標準形
標準形
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漸近線
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焦点
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頂点
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準線
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離心率
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双曲線は、主軸を座標軸とする直角座標系において、次の方程式により表すことができる。これを標準形という。
- (*)
この場合、焦点の座標は
-
と書ける。このとき、2焦点 F, F' から双曲線上の点 P への距離の差 |PF − PF'| は 2a となる。原点を双曲線の中心といい、2点(±a, 0) を双曲線の頂点という。
双曲線上の点 P と焦点 F との距離 PF と点 P から準線 までの距離の比は一定であり、比の値は離心率 に等しい。
また、双曲線には2つの漸近線が存在しており、漸近線の方程式は
-
である。
特に、漸近線が直交している、すなわち a = b であるとき、この双曲線を特に直角双曲線という。
反比例のグラフ xy = C も双曲線の一種である。これは、直角双曲線:x2 − y2 = 2C を原点の回りに 45° = π/4 だけ回転させた双曲線に等しい。
双曲線は、双曲線関数を用いて媒介変数表示することができる。
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また双曲線から左側の頂点 (−a, 0) を除けば有理関数を用いて媒介変数表示することもできる。
-
ただし t ≠ ±1 とする。右側の連結成分は −1 < t < 1 に、左下の連結成分は t > 1 に、左上の連結成分は t < −1 に対応する。これは二点 (−a, 0) と (0, tb) を通る直線 ay = tb(x a) と双曲線との交点のひとつとして得られる。
双曲線は、直円錐を直円錐の頂点を通らず、上下両方の直円錐に交わる平面で切断したときの、切断面の境界である。
離心率が e であるような円錐曲線を Ce とする。このとき、e > 1 であれば、 Ce は双曲線となる。この円錐曲線を適当に直交変換することにより、準線が x = −f , 焦点の一つが F(f, 0) となったとする。双曲線の任意の点 P(x, y) に対し、方程式
-
が成立するが、 となるから、上方程式の両辺を2乗して移項整理することにより、
-
さらに x に関して平方完成させることにより、
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これが、円錐曲線としての双曲線の基本形である。さらに平行移動: , Y = y を行って適当に整理することによって、(*) の形になる。