ペル数(ぺるすう、Pell number)は自然数で、以下の漸化式で定義される数列にある項のことである。
ペル数を1から小さい順に列記すると
- 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, …オンライン整数列大辞典の数列 A000129
ペル数は前項を2倍した数と前々項との和になっている。なお0番目のペル数を0と定義する場合もある。
n番目のペル数は
という式で表される。 であるため、nが大きくなるにつれて隣接するペル数の比 Pn 1/Pn は白銀数 に限りなく近付く。
行列では以下のように表現される。
ここから以下の恒等式が導かれる。
この式はペル数をフィボナッチ数に入れ替えても当てはまる。
の自然数解 x,y を小さい順に並べるとyはペル数となる。またその x/y の値は
- とだんだん√2の値に近付く。
ペル数の内累乗数は1と169のみである。
ペル数を使った以下の式で平方三角数を計算できる。
左辺は平方数、右辺は三角数を表している。
また以下の式で a2 b2=c2 を満たすピタゴラス数を表すこともできる。