Forza di gravità

In fisica classica la forza di gravità agente su un corpo è la forza di attrazione che su di esso esercitano le altre masse, in virtù della legge di gravitazione universale, enunciata da Isaac Newton nel libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica nel 1687. Nel caso in cui si considerino corpi in prossimità della superficie di un pianeta o un satellite, come ad esempio la Terra, ci si può riferire alla forza di gravità come forza peso oppure, più brevemente, al peso del corpo.

Come ogni altra forza, la forza di gravità si misura in Newton (N).

La forza di gravità in azione; un punto materiale m₁ attrae un altro punto materiale m₂ con una forza F₂ proporzionale al prodotto delle due masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza (r) tra di loro. A prescindere dalle masse o dalla distanza, le intensità delle due forze |F₁| e |F₂| saranno sempre uguali, per il terzo principio della dinamica. G è la costante di gravitazione universale.

La legge di gravitazione universale

Nel libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica del 1687, Isaac Newton enunciò la legge di gravitazione universale, che si può così enunciare:

"Qualsiasi oggetto dell'Universo attrae ogni altro oggetto con una forza diretta lungo la linea che congiunge i baricentri dei due oggetti, di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle loro masse ed inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza".

Questa legge afferma quindi l'esistenza di una forza di gravità data dalla seguente espressione:

{\vec {F}}_{2\,1}={\frac {Gm_{1}m_{2}}{\left|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}\right|^{3}}}({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1})={\frac {Gm_{1}m_{2}}{\left|{\vec {r}}_{21}\right|^{2}}}{\hat {r}}_{21}={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\hat {r}}_{21}

dove:

${\vec {F}}_{2\,1}$ è la forza con cui l'oggetto 1 è attratto dall'oggetto 2;
G è la costante di gravitazione universale, che vale circa 6,67 × 10^-11 m³kg^-1s^-2;
m₁ e m₂ sono le masse dei due corpi;
${\vec {r}}_{1}$ e ${\vec {r}}_{2}$ sono i vettori posizione delle masse e la differenza ${\vec {r}}_{21}=({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1})$ rappresenta un vettore diretto dalla massa 1 alla massa 2, mentre ${\hat {r}}_{21}$ è il rispettivo versore;
$\left|{\vec {r}}_{21}\right|=\left|{\vec {r}}_{12}\right|=r$ è la distanza tra i due corpi.

La norma della forza vale quindi:

F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{|{\vec {r}}_{21}|^{2}}}=G{\frac {m_{1}m_{2}}{|r|^{2}}}

Osserviamo che la forza che il corpo 1 esercita sul corpo 2 si ottiene semplicemente scambiando tutti gli indici 1 e 2: essa è uguale in modulo e direzione ed opposta in verso, come richiesto dal terzo principio della dinamica.

Illustrazione dell'effetto fionda gravitazionale: l'oggetto più piccolo esce dall'incontro con una velocità superiore a quella che aveva inizialmente, a spese dell'oggetto più grande. Il grafico in basso rappresenta la velocità dell'oggetto più piccolo in funzione del tempo.

Questa legge è perfettamente calzante qualora si assumano i corpi puntiformi, ovvero aventi tutta la massa concentrata in un unico punto. Se il corpo ha un'estensione spaziale non trascurabile, la relazione si esprime ricorrendo al calcolo integrale, mentre se il corpo ha simmetria sferica, il risultato dell'integrazione fornisce la stessa espressione del caso puntiforme, come conseguenza del teorema di Gauss.

Energia potenziale

Essendo il campo gravitazionale conservativo, esso ammette un'energia potenziale, ottenuta integrando la forza che agisce su un corpo di massa m lungo un qualsiasi cammino congiungente due punti A e B a distanze diverse dalla massa M che genera il campo gravitazionale, posta ora per comodità nell'origine del sistema di riferimento. Il lavoro della forza di gravità è:

L_{AB}=\int _{A}^{B}{\frac {GMm}{r^{3}}}{\vec {r}}\cdot {\vec {{\mbox{d}}s}}=GMm\int _{r_{A}}^{r_{B}}{\frac {{\mbox{d}}r}{r^{2}}}=-GMm\left({\frac {1}{r_{B}}}-{\frac {1}{r_{A}}}\right)=-(U(r_{B})-U(r_{A}))=-\Delta U

avendo definito l'energia potenziale gravitazionale U(r) come:

U(r)=-{\frac {GMm}{r}}

.

Si noti come l'energia tenda a meno infinito quando la distanza tra i due corpi tende a 0, mentre tenda a 0 quando i due corpi sono molto lontani.

Campo gravitazionale e accelerazione di gravità

L'accelerazione di gravità in una stanza: la curvatura terrestre è trascurabile e quindi il vettore g è costante e diretto verso il basso.

Consideriamo ora la forza che un corpo di massa (gravitazionale) M, per semplicità posizionata nell'origine, esercita su un corpo di massa m $\ll$ M, localizzata in ${\vec {r}}$ :

{\vec {F}}=-{\frac {GMm}{r^{3}}}{\vec {r}}

Alla luce dell'equivalenza tra massa inerziale e gravitazionale, possiamo scomporre la forza nel seguente modo:

{\vec {F}}=m\cdot \left(-{\frac {GM}{r^{3}}}{\vec {r}}\right):=m{\vec {g}}

dove abbiamo definito il vettore ${\vec {g}}$ , chiamato accelerazione di gravità. Esso rappresenta l'accelerazione che un corpo subisce quando è attratto da altre masse: è importante notare che l'accelerazione di gravità non dipende dalla natura del corpo che subisce la forza gravitazionale: ogni corpo, sottoposto alla stessa forza, accelera in maniera identica.

Dato che ${\vec {g}}$ non dipende da m, possiamo interpretare la sua esistenza come la manifestazione di un campo vettoriale che viene "generato" dalla presenza di altre masse. Questo campo è chiamato campo gravitazionale e rappresenta, in ogni punto, l'accelerazione che un corpo subirebbe se si trovasse in quella posizione.

Problema generale della gravitazione

Il problema generale della gravitazione, cioè la ricerca del campo gravitazionale creato da alcune masse, si può esprimere tramite il teorema di Gauss e il teorema della divergenza. Essendo la forza di gravità conservativa, si può esprimere ${\vec {g}}$ come:

{\vec {g}}=-{\vec {\nabla }}\Phi

dove $\Phi \,\!$ è proporzionale all'energia potenziale gravitazionale come segue:

U_{g}=m\Phi \,\!

Dal teorema di Gauss:

\int _{\partial V}{\vec {g}}\cdot {\hat {n}}\ {\text{d}}S=-4\pi Gm_{\text{int}}=-\int _{V}4\pi G\rho \ {\text{d}}V

Il primo integrale, cioè il flusso della forza gravitazionale, è esprimibile come integrale di volume della sua divergenza:

\int _{\partial V}{\vec {g}}\cdot {\hat {n}}\ {\text{d}}S=\int _{V}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {g}}\ {\text{d}}V

Sostituendo a ${\vec {g}}$ la sua espressione come gradiente:

\int _{V}-\nabla ^{2}\Phi \ {\text{d}}V=\int _{V}-4\pi G\rho \ {\text{d}}V

che, dovendo valere per ogni volume di integrazione, implica:

\nabla ^{2}\Phi =4\pi G\rho

.

Quest'ultima è una equazione differenziale alle derivate parziali del secondo ordine, detta equazione di Poisson, da completare con le opportune condizioni al contorno.

Confronto con la forza elettrica

L'attrazione gravitazionale tra protoni è approssimativamente 10³⁶ volte più debole della repulsione coulombiana.

Nel caso di presenza di interazione di natura elettrica, sono quindi del tutto trascurabili gli effetti della forza gravitazionale nello studio del fenomeno. La forza di gravità risulta quindi invece essere la principale forza agente tra corpi macroscopici dal momento che questi sono in genere elettricamente neutri: a grande distanza da essi le forze coloumbiane tendono a cancellarsi, mentre si sommano tutti i contributi della forza gravitazionale.

Campo gravitazionale in vicinanza della superficie terrestre

In prossimità della superficie terrestre l'accelerazione di gravità ${\vec {g}}$ è praticamente costante quindi per le comuni applicazioni fisiche e ingegneristiche è quindi possibile utilizzare una versione approssimata della forza di gravità, valida nei pressi della superficie terrestre:

{\vec {F}}=mg_{0}{\hat {z}}

dove ${\hat {z}}$ è un versore diretto lungo la verticale.^[2] In sostanza la forza di gravità è approssimata con una forza di modulo costante, indipendente dalla quota del corpo, e come direzione il basso, nel senso comune del termine.^[3] Naturalmente anche in questa approssimazione corpi con masse diverse hanno la stessa accelerazione di gravità.

Contributo della forza centrifuga all'accelerazione gravitazionale.

L'energia potenziale gravitazionale U_g è data da:

U_{g}=mg_{0}h\,

dove h è la quota del corpo rispetto ad un riferimento fisso.

Per il pianeta Terra il valore dell'accelerazione di gravità è stato convenzionalmente fissato a 9,80665 m/s² nell'ambito della terza Conferenza Generale dei Pesi e delle Misure del 1901.^[4]

Questa considerazione si rivela approssimativa per tre aspetti principali:

La formula sovrastante è valida per corpi puntiformi o a simmetria sferica (per il teorema di Gauss); ma la Terra ha una forma non esattamente sferica, bensì a forma di geoide, per cui la distanza tra un punto sulla superficie terrestre e il centro della Terra è differente a seconda che ci troviamo all'equatore (dove è maggiore) o ai poli (dove è minore). Per la precisione, all'equatore il raggio terrestre $R_{T}$ vale 6378,137 km, mentre ai poli vale 6356,752 km. Sperimentalmente si stima l'accelerazione misurata da un minimo di circa 9,78 m/s² all'equatore ad un massimo di circa 9,83 m/s² ai poli.

Si trascura l'effetto del moto dei pianeti nello spazio che imprime ai corpi forze apparenti (ad esempio forza centrifuga). Come si vede nella figura, il vettore ${\vec {g}}$ è in realtà la somma del termine ${\frac {GM_{T}}{{R_{T}}^{2}}}$ e di un termine dovuto alla forza centrifuga, pari a $\omega ^{2}a$ , in cui $\omega$ è la velocità angolare della Terra e $a$ e la distanza del punto considerato dall'asse di rotazione terrestre^[5].

La Terra non è un corpo omogeneo, ma presenta al suo interno zone a densità differente e questo si traduce in anomalie nel campo gravitazionale terrestre. Se la Terra fosse effettivamente fatta a "cipolla", cioè composta da strati diversi (crosta, mantello, nucleo) a densità diversa ma sempre a simmetria sferica, ciò non comporterebbe anomalie del campo gravitazionale, a causa del teorema di Gauss. Per esempio, lo spessore della crosta terrestre varia tra 5 (crosta oceanica) e 35 km (crosta continentale), quindi in generale sulla terraferma e sul mare ci saranno accelerazioni di gravità diverse. Una tecnica consolidata per la ricerca e lo sfruttamento dei giacimenti di idrocarburi sfrutta le anomalie gravitazionali dovute alla diversa densità sopra le trappole petrolifere mediante l'uso di particolari accelerometri, chiamati appunto gravitometri. Un'illustrazione delle anomalie gravitazionali è presente nella figura a lato.

Leggi del moto

In questo caso approssimato è molto semplice ricavare le leggi del moto, mediante integrazioni successive: per un corpo in caduta libera, chiamando z l'asse verticale (sempre diretto verso il basso) e proiettando il moto su di esso, valgono le seguenti leggi:

a(t)={\frac {F(t)}{m}}=g_{0}\,\!

v(t)=v_{0} g_{0}t\,\!

z(t)=z_{0} v_{0}t {\frac {1}{2}}g_{0}t^{2}

Inoltre, dalla conservazione dell'energia meccanica si ottiene un risultato notevole per corpi in caduta libera inizialmente fermi. Scriviamo l'energia meccanica del sistema ad un tempo generico:

E=K U={\frac {1}{2}}mv^{2} mg_{0}z

dove v è la velocità del corpo e z la sua quota. Supponiamo ora che all'istante iniziale $t=0$ il corpo si trovi ad una quota $z=h$ e all'istante finale $t={\tilde {t}}$ abbia una velocità $v={\tilde {v}}$ e si trovi a quota $z=0$ ; scriviamo quindi l'energia del sistema ai due istanti:

E(0)=mg_{0}h\,\!

E({\tilde {t}})={\frac {1}{2}}m{\tilde {v}}^{2}\,\!

Dato che l'energia meccanica si conserva possiamo uguagliare le due ultime equazioni e ricavarci il modulo della velocità dopo una caduta di una quota h:

\qquad {\tilde {v}}={\sqrt {2g_{0}h}}\,\!

La forza peso sugli altri corpi celesti

Nella tabella seguente sono riportati i rapporti tra l'accelerazione di gravità sulla Terra e altri corpi celesti.

Corpo celeste	Rispetto alla Terra	m/s²
Sole	27,90	274,1
Mercurio	0,3770	3,703
Venere	0,9032	8,872
Terra	1,000 (per definizione)	9,818^[6]
Luna	0,1655	1,625
Marte	0,3895	3,728
Giove	2,640	25,93
Saturno	1.139	11.19
Urano	0,917	9,010
Nettuno	1,148	11,28

Note

^ in questo esempio abbiamo considerato un raggio medio di 6372,797 km.
^ Un vettore è, per definizione, verticale quando è diretto come l'accelerazione di gravità.
^ Questa approssimazione è in realtà lo sviluppo all'ordine 0 dell'accelerazione di gravità intorno al raggio terrestre. È possibile anche sviluppare ${\vec {g}}$ fino ad ordini successivi, ottenendo relazioni lineari, quadratiche e così via. Ad esempio, al primo ordine: ${\vec {g}}=(g_{0}-cr O(r^{2})){\hat {g}}$ con $c=2GM/R_{T}^{3}\approx 3,086\cdot 10^{-}6s^{-2}$ . Simili approssimazioni non sono però utili se non si considera anche l'effetto delle forze apparenti.
^ Il valore di g sopra definito è un valore medio nominale, rappresentante l'accelerazione di un corpo in caduta libera al livello del mare a latitudine geodetica di circa 45,5°.
^ che peraltro presenta una certa inclinazione rispetto alla congiungente dei poli, rendendo più complesso il calcolo.
^ Questo valore si discosta dallo 9.806 convenzionale in quanto non tiene conto dell'effetto dell'accelerazione centrifuga e degli altri fattori prima elencati.

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Categoria:Forza

[1] questo esempio abbiamo considerato un raggio medio di 6372,797 km.

[2] Un vettore è, per definizione, verticale quando è diretto come l'accelerazione di gravità.

[3] Questa approssimazione è in realtà lo sviluppo all'ordine 0 dell'accelerazione di gravità intorno al raggio terrestre. È possibile anche sviluppare ${\vec {g}}$ fino ad ordini successivi, ottenendo relazioni lineari, quadratiche e così via. Ad esempio, al primo ordine: ${\vec {g}}=(g_{0}-cr O(r^{2})){\hat {g}}$ con $c=2GM/R_{T}^{3}\approx 3,086\cdot 10^{-}6s^{-2}$ . Simili approssimazioni non sono però utili se non si considera anche l'effetto delle forze apparenti.

[4] Il valore di g sopra definito è un valore medio nominale, rappresentante l'accelerazione di un corpo in caduta libera al livello del mare a latitudine geodetica di circa 45,5°.

[5] raltro presenta una certa inclinazione rispetto alla congiungente dei poli, rendendo più complesso il calcolo.

[6] Questo valore si discosta dallo 9.806 convenzionale in quanto non tiene conto dell'effetto dell'accelerazione centrifuga e degli altri fattori prima elencati.

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