Operatore di Hilbert-Schmidt

In matematica, un operatore di Hilbert-Schmidt, il cui nome è dovuto a David Hilbert e Erhard Schmidt, è un operatore limitato su uno spazio di Hilbert per il quale una data norma, detta norma di Hilbert–Schmidt, è finita.

Definizione

Sia ${\bigl (}H,(\cdot ,\cdot ){\bigr )}$ uno spazio di Hilbert complesso, con $(\cdot ,\cdot )$ antilineare nella prima variabile e lineare nella seconda. Un operatore limitato $A\in B(H)$ è un operatore di Hilbert-Schmidt se è finita la traccia del modulo quadro, ovvero se

${\rm {Tr}}|A|^{2}<\infty \$

In modo equivalente, poiché $|A|^{2}=A^{*}A$, si può definire la norma di Hilbert–Schmidt come la radice quadrata di

$\|A\|_{2}^{2}={\rm {Tr}}|A|^{2}=\sum _{i\in I}\|Ae_{i}\|^{2}$

e dire che $A$ è un operatore di Hilbert-Schmidt se tale norma è finita. L'insieme $\{e_{i}\}_{i\in I}$ è una qualunque base ortonormale di $H$, mentre $\|\cdot \|$ è la norma di $H$. Inoltre, si verifica che

$\|A\|_{2}^{2}=\sum _{i,j}|A_{i,j}|^{2}$

dove

$A_{i,j}=(e_{i},Ae_{j})$

La norma di Hilbert-Schmidt è un caso particolare della norma di Schatten p-esima

$\Vert A\Vert _{p}^{p}={\rm {{Tr}|A|^{p}}}$

In uno spazio euclideo di dimensione finita $\|\ \|_{2}$ è anche detta norma di Frobenius.

Il prodotto interno tra due operatori di Hilbert–Schmidt $A$ e $B$ è definito nel seguente modo

$\langle A,B\rangle _{\mathrm {=} }\operatorname {Tr} (A^{*}B)=\sum _{i\in I}(Ae_{i},Be_{i})$

Tale forma hermitiana induce la norma di Hilbert-Schmidt sopra descritta, e rende la classe degli operatori di Hilbert-Schmidt uno spazio di Hilbert.

Proprietà

• Gli operatori di Hilbert-Schmidt formano uno *-ideale nell'algebra di Banach degli operatori limitati su $H$. Essi costituiscono inoltre uno spazio di Hilbert che si dimostra essere isomorfo e isometrico al prodotto tensoriale $H^{*}\otimes H$, dove $H^{*}$ denota lo spazio duale di $H$.

• Gli operatori di classe traccia sono operatori di Hilbert-Schmidt.

• Un operatore di Hilbert-Schmidt è un operatore compatto. Viceversa, un operatore compatto è di classe traccia se e solo se

$\sum _{i\in I}|\lambda _{i}|^{2}<\infty$

dove i numeri $\{\lambda _{i}\}$ sono i valori singolari dell'operatore.

• Gli operatori di rango finito sono densi nello spazio degli operatori di classe traccia rispetto alla norma $\|A\|_{HS}$.

• Due operatori $A$ e $B$ sono di Hilbert–Schmidt se e solo se $C=AB$ è di classe traccia.

• Un operatore $A$ è di Hilbert-Schmidt se e solo se $\{\|Ae_{i}\|\}\in l^{2}$ per una qualche base ortonormale $\{e_{i}\}$ di $H$.
• Sia $(X,\mu )$ uno spazio di misura e sia $H=L^{2}(X,d\mu )$ lo spazio delle funzioni quadrato sommabili su $X$. Una condizione sufficiente affinché un operatore limitato $A$ definito su $H$ sia di Hilbert-Schmidt è che esista una funzione

$K\in L^{2}(X\times X,d\mu \otimes d\mu )$

tale che

$(Af)(x)=\int _{X}K(x,y)f(y)d\mu (y)$

e si ha inoltre

$\|A\|_{2}^{2}=\int _{X}|K(x,y)|^{2}d\mu (x)d\mu (y)$

Bibliografia

• (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

Voci correlate

• Operatore (matematica)
• Traccia (matrice)
• Operatore limitato

Collegamenti esterni

• (EN) M.I. Voitsekhovskii, Hilbert-Schmidt operator, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.