Norma operatoriale

In matematica, la norma operatoriale di un operatore lineare è la norma definita sullo spazio degli operatori limitati lineari tra spazi vettoriali normati.

Definizione

Considerando due spazi normati $V$ e $W$ sul medesimo campo $\mathbb {R}$ o $\mathbb {C}$, una trasformazione lineare $A:V\to W$ è continua se e solo se esiste un numero reale $c$ tale per cui:

$\|Av\|_{W}\leq c\|v\|_{V}\quad \forall v\in V$

Intuitivamente, l'operatore $A$ non "allunga" mai i vettori su cui agisce di un fattore maggiore di $c$. In questo modo, l'immagine di un insieme limitato è limitata. Da questo fatto segue che gli operatori lineari continui sono anche detti operatori limitati.

La norma operatoriale è definita considerando il più piccolo $c$ tale per cui la precedente uguaglianza vale per ogni $v$:

$\|A\|_{op}=\min\{c\geq 0:\|Av\|\leq c\|v\|{\mbox{ per ogni }}v\in V\}$

dove il minimo esiste sempre grazie al fatto che tale insieme è chiuso, limitato e non vuoto.

Si può mostrare che le seguenti definizioni sono equivalenti a quella data:

${\begin{aligned}\|A\|_{op}&=\sup\{\|Av\|:v\in V{\mbox{ con }}\|v\|\leq 1\}\\&=\sup\{\|Av\|:v\in V{\mbox{ con }}\|v\|<1\}\\&=\sup\{\|Av\|:v\in V{\mbox{ con }}\|v\|=1\}\\&=\sup \left\{{\frac {\|Av\|}{\|v\|}}:v\in V{\mbox{ con }}v\neq 0\right\}\end{aligned}}$

Proprietà

La norma operatoriale è una norma definita sullo spazio degli operatori limitati da $V$ in $W$, che significa:

• $\|A\|_{op}\geq 0$ e $\|A\|_{op}=0$ se e solo se $A=0$.
• Si verifica:

$\|aA\|_{op}=|a|\|A\|_{op}\quad \forall a$

dove $a$ è uno scalare.

• Valgono le disuguaglianze:

$\|A B\|_{op}\leq \|A\|_{op} \|B\|_{op}\qquad \|Av\|\leq \|A\|_{op}\|v\|\quad \forall v\in V$

Se $V$, $W$ e $X$ sono spazi normati sullo stesso campo e $A:V\to W$, $B:W\to X$ sono operatori limitati, allora:

$\|BA\|_{op}\leq \|B\|_{op}\|A\|_{op}$

Per gli operatori limitati su $V$ questo implica che la moltiplicazione tra operatori è continua.

Dalla definizione segue inoltre che se una successione di operatori converge nella norma operatoriale allora converge uniformemente su insiemi limitati.

Operatori in spazi di Hilbert

Sia $H$ uno spazio di Hilbert reale e $A:H\to H$ un operatore lineare limitato. Allora si ha:

$\|A\|_{op}=\|A^{*}\|_{op}$

e inoltre:

$\|A^{*}A\|_{op}=\|A\|_{op}^{2}$

dove $A^{*}$ è l'operatore aggiunto di $A$ (che in uno spazio euclideo con il prodotto scalare standard è rappresentato dalla matrice trasposta coniugata di $A$).

In generale, il raggio spettrale $\rho (A)$ di $A$ è limitato dalla norma operatoriale di $A$:

$\rho (A)\leq \|A\|_{op}$

Quando una matrice $N$ è normale la sua forma canonica di Jordan è diagonale, in accordo con il teorema spettrale. In tal caso è semplice vedere che:

$\rho (N)=\|N\|_{op}$

Il teorema spettrale può essere esteso a operatori normali in generale, e la precedente uguaglianza vale per ogni operatore normale limitato $N$. Lo spazio degli operatori limitati su $H$ con la topologia indotta dalla norma operatoriale non è separabile. L'insieme degli operatori limitati su uno spazio di Hilbert, insieme con la norma operatoriale e l'operazione di aggiuntezza, produce una C*-algebra.

Bibliografia

• John B. Conway, A course in functional analysis, New York, Springer-Verlag, 1990, p. 67, ISBN 0-387-97245-5.

Voci correlate

• Norma (matematica)
• Norma uniforme
• Operatore limitato
• Operatore lineare continuo
• Spazio normato