Limite diretto

In matematica, il limite diretto (anche chiamato limite induttivo) è una costruzione che, dati degli oggetti relazionati tra loro attraverso dei morfismi, fornisce un nuovo oggetto. Il limite diretto può essere definito in ogni categoria.

Definizione formale

Limite diretto di gruppi

Iniziamo con la definizione di un sistema diretto di gruppi e omomorfismi. Siano (I, ≤) un insieme parzialmente ordinato e diretto e ( A_i )_{i ∈ I} una famiglia di gruppi. Sia poi f_ij : A_i → A_j per i ≤ j (si noti l'ordine) una famiglia di omomorfismi con le seguenti proprietà:

1. f_ii è l'identità in A_i per ogni i,
2. f_ik = f_jk o f_ij per ogni i ≤ j ≤ k.

Allora l'insieme delle coppie ( A_i , f_ij ) è chiamato un sistema diretto di gruppi e morfismi su I.

Definiamo il limite diretto del sistema diretto ( A_i , f_ij ) come l'unione disgiunta degli A_i , modulo una certa relazione d'equivalenza ~,

$\varinjlim A_{i}=\bigsqcup _{i}A_{i}{\bigg /}\sim .$

La relazione d'equivalenza ~ è definita come segue: due elementi x_i ∈ A_i e x_j ∈ A_j sono equivalenti se esiste un qualche k ∈ I tale che i, j ≤ k e che f_ik (x_i ) = f_jk (x_j ). Euristicamente, due elementi nell'unione disgiunta sono equivalenti se e solo se diventano uguali da un certo punto in poi nel sistema diretto.

Il limite diretto, che per comodità indicheremo con A, è fornito di morfismi canonici φ_i : A_i → A che mandano ogni elemento nella sua classe d'equivalenza. Inoltre, il limite diretto gode della proprietà universale descritta nella sezione seguente. Infine, se i vari gruppi A_i sono gruppi topologici (e i morfismi sono omomorfismi continui), allora su A si pone la topologia più fine che rende continui i morfismi canonici ed A risulta essere un gruppo topologico rispetto a tale topologia.

La stessa costruzione può essere effettuata anche se gli A_i al posto di essere gruppi sono insiemi, anelli, moduli (su un anello fissato), algebre (su un campo fissato), etc., e gli omomorfismi sono omomorfismi per le corrispondenti categorie. Il limite diretto apparterrà anch'esso a quella categoria.

Definizione generale

Il limite diretto può essere definito in modo astratto in una qualsiasi categoria attraverso una proprietà universale. Sia (X_i , f_ij ) un sistema diretto di oggetti e morfismi in una categoria C. Il limite diretto di questo sistema è un oggetto X in C insieme con dei morfismi φ_i : X_i → X soddisfacenti a φ_i = φ_j o f_ij per ogni i ≤ j. La coppia (X, φ_i ) deve essere universale nel senso che per ogni altra coppia (Y, ψ_i ) esiste un unico morfismo u: X → Y tale che il seguente diagramma commuti:

per ogni i ≤ j. Il limite diretto è in genere denotato come

$X=\varinjlim X_{i},$

lasciando sottinteso il sistema diretto (X_i, f_ij ).

Al contrario di ciò che accade per gli oggetti algebrici, in alcuni casi il limite diretto può non esistere. Tuttavia, se esiste esso è unico, nel senso che tutti i limiti diretti di un sistema diretto sono isomorfi tra loro. In altre parole, se X e X′ sono due limiti diretti di uno stesso sistema, allora esiste un unico isomorfismo X′ → X che commuta con le proiezioni.

Esempi

• Una collezione di sottoinsiemi M_i di un insieme M può essere parzialmente ordinata dall'inclusione. Se definiamo il morfismo da A a B come l'inclusione per ogni coppia di sottoinsiemi A e B con A ⊆ B, allora il limite diretto risultante da questo sistema non è altro che l'unione degli M_i .
• Se l'insieme degli indici I di un sistema diretto (X_i , f_ij ) ha un massimo i*, allora il limite diretto del sistema è isomorfo a X_i* e il morfismo canonico φ_i* : X_i* → X è un isomorfismo.
• Sia p un primo. Si consideri il sistema diretto composto dai gruppi Z/pⁿ Z e dagli omomorfismi Z/pⁿ Z → Z/p^m Z, con n ≤ m, che sono indotti dalla moltiplicazione per p^{m - n}. Il limite diretto di questo sistema è isomorfo al gruppo di tutte le radici dell'unità di ordine una qualche potenza di p, ed è chiamato gruppo di Prüfer Z(p^∞).
• I limiti diretti sono connessi ai limiti proiettivi attraverso la relazione

$\mathrm {Hom} (\varinjlim X_{i},Y)=\varprojlim \mathrm {Hom} (X_{i},Y).$

Bibliografia

• Nicolas Bourbaki, Algebra I, Springer, 1989, ISBN 978-3-540-64243-5, OCLC 40551484.
• (EN) Nicolas Bourbaki, General topology: Chapters 1-4, Springer, 1989, ISBN 978-3-540-64241-1, OCLC 40551485.
• (EN) Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, 2nd, Springer, settembre 1998, ISBN 0-387-98403-8.
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• (EN) Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55987-4. (sezione 3.5)

Voci correlate

Il duale del limite diretto è il limite inverso (o proiettivo).