Formula di Brahmagupta

La formula di Brahmagupta consente di determinare l'area di un quadrilatero. Nella sua forma più comune, essa consente di determinare l'area di un quadrilatero ciclico (cioè inscrivibile in una circonferenza) una volta note le lunghezze dei lati.

Forma di base

Nella sua forma tipica e più facile da ricordare, la formula di Brahmagupta afferma che l'area di un quadrilatero ciclico i cui lati hanno lunghezze a, b, c, d è uguale a:

A={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}

dove $p$ è il semiperimetro, ovvero

p={\frac {a b c d}{2}}.

Generalizzazione ai quadrilateri generici

Nel caso di quadrilateri non ciclici, l'estensione della formula di Brahmagupta è costituita dalla formula di Bretschneider, che coinvolge anche la misura di due angoli opposti del quadrilatero:

A={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos ^{2}(\theta )}}

dove $\theta$ è la metà della somma di due angoli opposti (la scelta della coppia è irrilevante: se si considerano gli altri due angoli, la metà della loro somma è supplementare a $\theta$ ; dal momento che $\cos(\pi -\theta )=-\cos(\theta )$ , abbiamo $\cos ^{2}(\pi -\theta )=\cos ^{2}(\theta )$ .

Una nota proprietà dei quadrilateri ciclici è il fatto che gli angoli opposti sono supplementari. Di conseguenza, in questo caso $\theta ={\frac {\pi }{2}}$ , pertanto $abcd\cdot \cos ^{2}(\theta )=abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=abcd\cdot 0=0$ , riducendosi alla forma di base.

Teoremi collegati

La formula di Erone per l'area di un triangolo è il caso particolare ottenuto ponendo $d=0$ .

La relazione tra la forma di base e quella generalizzata della formula di Brahmagupta è simile al modo in cui il teorema di Carnot estende il teorema di Pitagora.

Collegamenti esterni

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