Epsilon zero

In matematica, ε₀ è il più piccolo numero transfinito che non può essere raggiunto partendo da 0 ed eseguendo un numero finito di operazioni di addizioni di numeri ordinali più l'operazione α→ω^α, dove ω è il numero ordinale transfinito più piccolo.

È dato da

$\epsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{\omega ^{\cdots }}},$

ovvero il limite della sequenza

$\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}},\cdots$

La sua forma normale di Cantor è

$\epsilon _{0}=\omega ^{\epsilon _{0}}$

I numeri che hanno questa caratteristica (cioè i $\beta$ tali che $\beta =\omega ^{\beta }$) sono detti numeri epsilon; il più piccolo di questi è appunto $\epsilon _{0}$, mentre il $\gamma$-esimo è denotato da $\varepsilon _{\gamma }$.

L'ordinale ε₀ è numerabile (esistono anche ordinali non numerabili).

Questo ordinale è importante in molte dimostrazioni per induzione, in quanto in molti casi l'induzione transfinita è richiesta solamente fino a ε₀ (come ad esempio nel teorema di Goodstein). È stato usato da Gerhard Gentzen per dimostrare la coerenza dell'aritmetica di Peano: insieme al secondo teorema di incompletezza di Gödel, questo dimostra che l'aritmetica di Peano non può provare la sua fondatezza (è l'ultimo ordinale con questa proprietà: per questo nell'analisi degli ordinali è usata come misura della forza della teoria dell'aritmetica di Peano).

Questo simbolo fu ideato dal matematico tedesco Georg Cantor.

Alberi con radice

Gli alberi finiti con radice possono essere usati per rappresentare tutti gli ordinali inferiori a ε₀ nel seguente modo. Un albero finito con radice T rappresenta l'ordinale $\omega ^{\alpha _{1}} \cdots \omega ^{\alpha _{n}}$ dove α₁≥....≥α_n sono gli ordinali rappresentati dagli n≥0 alberi con radice ottenuti cancellando la radice di T e gli archi ad essa collegati.

Bibliografia

• John Conway, On Numbers and Games, 1976, Academic Press, ISBN 0-12-186350-6

Voci correlate

• Aritmetica degli ordinali