Dominio a fattorizzazione unica

In algebra, un dominio a fattorizzazione unica (o anello a fattorizzazione unica; spesso abbreviato in UFD, dall'inglese Unique Factorization Domain) è un dominio in cui vale un analogo del teorema fondamentale dell'aritmetica, ovvero in cui ogni elemento può essere scritto in modo unico come prodotto di elementi primi, analogamente a quanto accade per i numeri interi e la scomposizione in numeri primi.

Definizione

Un dominio d'integrità A è un dominio a fattorizzazione unica se ogni elemento x di A non nullo e non invertibile può essere scritto come prodotto di elementi irriducibili

x=p_{1}p_{2}\cdots p_{n}

e questa rappresentazione è unica, nell'accezione seguente: se q₁,...,q_m sono elementi irriducibili di A tali che

x=q_{1}\cdots q_{m}

allora m = n ed esiste una corrispondenza biunivoca φ : {1,...,n} $\to$ {1,...,n} tale che p_i e q_φ(i) sono associati, per ogni i = 1, ..., n; ovvero, a meno di riordinare i fattori, $p_{i}=u_{i}q_{i}$ , dove u_i è un elemento invertibile dell'anello.

Alternativamente, A è un dominio a fattorizzazione unica se ogni elemento non invertibile è prodotto di elementi primi: in questo caso, l'unicità è già garantita dalle proprietà degli elementi primi. Un'ulteriore caratterizzazione equivalente che usa gli elementi primi è stata dimostrata da Irving Kaplansky: un dominio è un UFD se e solo se ogni ideale primo contiene un elemento primo.

Esempi

Un primo esempio è dato dai campi, come il campo dei numeri razionali $\mathbb {Q}$ o reali $\mathbb {R}$ : in questo caso, tutti gli elementi non nulli sono invertibili, e quindi tutte le fattorizzazioni sono banali. Un esempio più interessante è l'anello $\mathbb {Z}$ dei numeri interi (grazie al teorema fondamentale dell'aritmetica).

Esempi importanti sono gli anelli K[X₁,...,X_n] dei polinomi a coefficienti in un campo K e K[[X₁,...,X_n]], l'anello delle serie formali.

Più in generale, ogni dominio ad ideali principali e ogni dominio euclideo è a fattorizzazione unica.

Tra gli anelli di interi algebrici, l'anello degli interi gaussiani $\mathbb {Z} [i]$ è a fattorizzazione unica, mentre $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ (che comprende tutti i numeri complessi del tipo $a b{\sqrt {-5}}$ , dove a e b sono interi) non lo è, perché 6 si fattorizza in due modi diversi, come $~2\cdot 3~$ e $(1 {\sqrt {-5}})\cdot (1-{\sqrt {-5}})$ , e questi quattro fattori sono irriducibili e non equivalenti.

Proprietà

In un dominio a fattorizzazione unica, le nozioni di elemento primo ed elemento irriducibile coincidono; più precisamente, un dominio A è un UFD se e solo se è atomico (ovvero se ogni elemento può essere scritto come prodotto di elementi irriducibili) e se gli elementi primi ed irriducibili coincidono.

Ogni coppia (o insieme finito) di elementi in A ha un massimo comune divisore ed un minimo comune multiplo, definiti analogamente a quanto accade negli interi; questi possono essere ricavati dalla fattorizzazione. Dall'esistenza dei massimi comun divisori segue che ogni UFD è integralmente chiuso; questo criterio può essere a volte usato per dimostrare che certi anelli non sono a fattorizzazione unica.

La proprietà di essere a fattorizzazione unica si conserva passando agli anelli di polinomi, ovvero A è un UFD se e solo se A[X] è un UFD. Per induzione, anche gli anelli A[X₁, ..., X_n] sono a fattorizzazione unica: ad esempio questo avviene per l'anello K[X₁, ..., X_n] dei polinomi a coefficienti in un campo. Per n > 1, quest'ultimo caso è un esempio di UFD che non è ad ideali principali; più in generale, un UFD è ad ideali principali se e solo se la sua dimensione di Krull è 0 o 1.

Al contrario degli anelli di polinomi, non è detto che, se A è a fattorizzazione unica, lo sia anche l'anello delle serie formali A[[X]]; un caso particolare (ma importante) in cui questa proprietà è invece vera si ha quando A=K è un campo. Più in generale, se A è un anello regolare a fattorizzazione unica, anche A[[X]] è un UFD regolare.

Bibliografia

Luca Barbieri Viale, Che cos'è un numero ? Una introduzione all'algebra, Raffaello Cortina, 2013, ISBN 978-88-6030-604-3
Pete L. Clark, Factorization in Integral Domains (PDF) (archiviato dall'url originale il 28 luglio 2013).
Irving Kaplansky, Commutative rings, The University of Chicago Press, 1974, ISBN 0-226-42454-5.