Spesso si usa come sinonimo "illimitato" per il termine "cofinale", ma bisogna ben distinguere questa definizione di illimitato con quella generica d'ordine tra sottoinsiemi di insiemi qualunque. Infatti, in questo contesto, per illimitato si intende che nessun taglio iniziale di contiene tutto , o equivalentemente che dato un qualsiasi elemento esiste un elemento con .
Si dimostra che è un cardinale e si arriva alla seguente definizione equivalente:
Da notare che questa seconda definizione ha bisogno dell'assioma di scelta, mentre la prima non ne ha bisogno.
In tutti i seguenti esempi si suppone che gli ordinamenti siano quelli "standard".
per ogni .
in quanto è cofinale in .
Questo non genera una contraddizione perché l'ordine standard dei numeri reali non è isomorfo a quello del cardinale che rappresenta la cardinalità del continuo (altrimenti dovrebbe essere ).
Un ordinale α si dice regolare se , mentre si dice singolare se .
Valgono i seguenti fatti:
1,0 sono ordinali regolari;
per le proprietà viste sopra ogni ordinale successore (a parte 1) è singolare; tuttavia, non ogni ordinale limite è regolare: ad esempio ha cofinalità ;
un ordinale regolare è anche un cardinale, ma esistono anche cardinali che sono singolari: ad esempio ha cofinalità .