Altezza di scala

In ambito scientifico, l’altezza di scala, normalmente denotata con la lettera H, è la distanza entro cui una data proprietà fisica varia di un fattore "e", il numero di Eulero, base del logaritmo naturale, pari a circa 2,71828.

Altezza di scala nei modelli semplici della pressione atmosferica

Nelle atmosfere planetarie, l'altezza di scala è l'incremento di altitudine necessario a far variare la pressione atmosferica di un valore e. Tale valore rimane costante se la temperatura rimane costante.

H può essere calcolato da:

$H={\frac {kT}{mg}}$

o in alternativa da

$H={\frac {RT}{Mg}}$

dove:

• k = costante di Boltzmann = 1,38×10⁻²³ J·K⁻¹
• R = costante dei gas
• T = temperatura atmosferica media in kelvin = 250 K per la Terra
• m = massa di una molecola di gas (in kg)
• M = massa di una mole di gas
• g = accelerazione di gravità sulla superficie planetaria (m/s²)

La pressione (forza per unità di area) a una data altitudine è il risultato del peso dell'atmosfera soprastante. Se all'altezza z l'atmosfera ha una densità ρ e una pressione p, lo spostamento infinitesimo verticale verso l'alto dz provocherà una diminuzione di pressione dP eguale al peso dello strato di atmosfera di spessore dz.

Per cui:

${\frac {dP}{dz}}=-g\rho$

dove g è l'accelerazione di gravità. Per piccoli dz è possibile considerare g come costante; il segno meno indica che la pressione diminuisce all'aumentare dell'altezza. Pertanto usando l'equazione di stato per un gas ideale di massa molecolare media M alla temperatura T, la densità può essere espressa come

$\rho ={\frac {MP}{kT}}$

Combinando queste equazioni si ottiene

${\frac {dP}{P}}={\frac {-dz}{\frac {kT}{Mg}}}$

che può essere incorporata nell'equazione per H vista sopra per dare:

${\frac {dP}{P}}=-{\frac {dz}{H}}$

che non varia se non varia la pressione. Integrando e assumendo che P₀ sia la pressione all'altezza z = 0 (pressione a livello del mare), la pressione all'altezza z può essere scritta come:

$P=P_{0}\exp \left(-{\frac {z}{H}}\right)$

Questo implica un decadimento esponenziale della pressione con l'altezza.

Nell'atmosfera terrestre, la pressione a livello del mare P₀ è in media di 1,01×10⁵ Pa, mentre la massa molecolare media dell'aria secca è 28,964 u; ne consegue pertanto che 28,964 × 1,660×10⁻²⁷ = 4,808×10⁻²⁶ kg e g = 9,81 m/s². Essendo funzione della temperatura, l'altezza di scala dell'atmosfera terrestre è perciò 1,38/(4,808 × 9,81) × 10³ = 29,26 m/deg.

Per alcuni valori rappresentativi della temperatura dell'aria, l'altezza di scala è:

T = 290 K, H = 8500 m

T = 273 K, H = 8000 m

T = 260 K, H = 7610 m

T = 210 K, H = 6000 m

Questi valori andrebbero confrontati con la temperatura e la densità dell'atmosfera terrestre in un grafico NRLMSISE-00, dove si vede che la densità dell'aria diminuisce da 1200 g/m³ a livello del mare a 0,5³ = 0,125 g/m³ a 70 km, che corrisponde a un fattore 9600, indicando un fattore di scala di 70/ln(9600) = 7,64 km, consistente con una temperatura media dell'aria in quell'intervallo prossima a 260 K.

È da notare che:

• La densità è correlata alla pressione dalla legge dei gas perfetti, pertanto – a parte qualche scostamento legato al fatto che la temperatura varia – anche la densità diminuirà esponenzialmente con l'altezza partendo da un valore a livello del mare di ρ₀ all'incirca uguale a 1,2 kg m⁻³.
• Per altezze superiori a 100 km, la diffusione molecolare implica che ogni specie atomica molecolare ha la propria altezza di scala.

Esempi planetari

I valori approssimati di scala per alcuni corpi del sistema solare sono:

• Sole: ≈130 km
• Venere: 15,9 km
• Terra: 8,5 km
• Marte: 11,1 km
• Giove: 27 km
• Saturno: 59,5 km
  • Titano: 40 km
• Urano: 27,7 km
• Nettuno: 19,1–20,3 km