Analisi complessa/Spazi metrici

Spazi metrici

Definizione 2.2.1

Un insieme $X\neq \emptyset$, assieme ad una funzione distanza

$d:X^{2}\rightarrow \mathbb {R}$

è uno spazio metrico, e si indica con la coppia (X,d) se per ogni $x,y,z\in X$ sono verificate le seguenti proprietà:

1. $d(x,y)\geq 0\!$
2. $d(x,y)=d(y,x)\!$ (simmetria)
3. $d(x,y)=0\iff x=y\!$
4. $d(x,y)\leq d(x,z) d(y,z)\!$ (disuguaglianza triangolare)

La distanza induce una topologia di aperti, e di conseguenza è possibile definire un concetto che ritorna spesso in analisi matematica e topologia:

Definizione

Si dice intorno di un punto $x\in X$ l'insieme $N_{r}(x)=\{y\in X|d(x,y)<r\}$.

Osservate che, dato un punto $x_{0}\in X$, l'intorno di raggio r centrato in $x_{0}$ è l'insieme dei punti che distano r dal punto $x_{0}$.

TEOREMA 2.2.2.

Dalla disuguaglianza triangolare si ricava immediatamente che

$d(x,y)-d(x,z)\leq d(y,z)$

Successioni

Definizione 2.2.3.

Una funzione $a:\mathbb {N} \rightarrow X$ si dice successione in $X$, ed i suoi elementi si indicano come $a_{n}$. È una legge che associa ad ogni numero naturale, un elemento dell'insieme X

Successione convergente

• Si dice che una successione $a_{n}$ converge ad un valore $\alpha \in X$ se

$\forall \varepsilon >0\;\exists N\in \mathbb {N} :n>N\Rightarrow d(a_{n},\alpha )<\varepsilon$,

cioè se $\alpha$ è il limite della successione rispetto alla distanza $d$.

Successione di Cauchy

• Una successione la quale

$\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} :n,m>N\Rightarrow d(a_{n},a_{m})<\varepsilon$

si dice successione di Cauchy;

Definizione

Uno spazio metrico nel quale ogni successione di Cauchy è convergente si dice completo.

Insieme denso

Un insieme $Y$ si dice denso nello spazio metrico $X$ se $Y\subseteq X$ e $\forall x\in X,\forall N_{r}(x):N_{r}(x)\cap Y\neq \emptyset$.

Teorema

Ogni spazio metrico ammette un completamento: dato uno spazio metrico $(X,d)$ esiste sempre uno spazio metrico completo $({\tilde {X}},{\tilde {d}})$, ed una mappa

$\Phi :X\rightarrow {\tilde {X}}$

con le seguenti proprietà:

• $\Phi \!$ è iniettiva;
• $d(x,y)={\tilde {d}}(\Phi (x),\Phi (yz))\!$;
• $\Phi (X)\!$ è denso in ${\tilde {X}}$

Definizione 2.2.5

Una funzione

$f:X\rightarrow X$

definita su uno spazio metrico è una contrazione se per ogni $x,y\in X$ è verificata la disuguaglianza

$d(f(x),f(y))\leq kd(x,y)$

con $0<k<1\!$.

Teorema del punto fisso

Punto fisso

Siano $f:A\longrightarrow A$ una funzione, A insieme qualsiasi. Dicesi punto fisso per la funzione $f$ un valore $x\in A$ tale che

$f({\tilde {x}})={\tilde {x}}$

Teorema 2.2.6 o del punto fisso

Se $(X,d)$ è uno spazio metrico completo e se $f$ è una contrazione su $X$, allora

$\exists !{\bar {x}}\in X:f({\bar {x}})={\bar {x}}$

Serie di funzioni

Consideriamo in questo paragrafo le funzioni definite tra due spazi metrici,

$f:(X,d)\rightarrow (Y,h)\,$

Definizione 2.2.7.

Diremo che la successione di funzioni $f_{n}$ converge puntualmente ad $f$ se

$\forall x\in X,\varepsilon >0\quad \exists N(x,\varepsilon ):n>N\Rightarrow h(f_{n}(x),f(x))<\varepsilon$.

Diremo che una successione converge uniformemente se

$\forall \varepsilon >0\quad \exists N(\varepsilon ):n>N\Rightarrow h(f_{n}(x),f(x))<\varepsilon$ per ogni $x\in X$.

L'importante differenza rispetto al caso precedente è che qui è possibile trovare un $N$ valido per tutti gli $x$.

Teorema 2.2.8

Nel caso di funzioni da uno spazio metrico $X$ a $\mathbb {C}$, una serie di funzioni $f_{n}$ converge uniformemente a $f$ se e solo se

$\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} :n>N\Rightarrow \sup _{x\in X}|f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon .$

Mentre la convergenza puntuale non comunica alla funzione limite le proprietà eventualmente possedute dalle funzioni della successione, la convergenza uniforme ne trasmette alcune; in particolare si ha che

Teorema 2.2.9

Il limite uniforme di funzioni continue è continuo.