Teorema del differenziale totale

Una funzione differenziabile in un punto è una funzione che può essere approssimata, a meno di un resto infinitesimo, da una trasformazione lineare in un intorno abbastanza piccolo di quel punto; condizione sufficiente affinché la funzione possegga tale proprietà è che tutte le derivate parziali siano continue in tale punto ed esistano in un intorno di esso (non devono essere necessariamente continue nell'intorno del punto).

Enunciato

Sia $A$ un aperto di $\mathbb {R} ^{n}$ , sia ${\vec {x_{0}}}\in A$ e sia $f\colon A\to \mathbb {R}$ una funzione tale che vi sia una palla $B({\vec {x_{0}}},r)\subseteq A$ in cui esistono tutte le $n$ derivate parziali (per ogni ${\vec {x}}\in B({\vec {x_{0}}},r),$ quindi anche nel punto ${\vec {x_{0}}}$ ) e siano continue nel punto ${\vec {x_{0}}}$ . Allora la funzione è differenziabile in ${\vec {x_{0}}}.$

Dimostrazione per n=2

Per la definizione di differenziabilità, si deve mostrare che:

\lim _{{\sqrt {(x-x_{0})^{2} (y-y_{0})^{2}}}\to 0}{\frac {f(x,y)-f(x_{0},y_{0})-{\frac {\partial f(x_{0},y_{0})}{\partial x}}(x-x_{0})-{\frac {\partial f(x_{0},y_{0})}{\partial y}}(y-y_{0})}{\sqrt {(x-x_{0})^{2} (y-y_{0})^{2}}}}=0.

Iniziamo valutando la differenza $f(x,y)-f(x_{0},y_{0}).$ Aggiungendo e sottraendo $f(x,y_{0})$ otteniamo $f(x,y)-f(x,y_{0}) f(x,y_{0})-f(x_{0},y_{0}).$

Per il teorema di Lagrange esistono due numeri $\xi$ e $\eta$ tali che $x_{0}<\xi <x$ e $y_{0}<\eta <y$ per i quali vale

f(x,y_{0})-f(x_{0},y_{0})=f_{x}(\xi ,y_{0})(x-x_{0})

e

f(x,y)-f(x,y_{0})=f_{y}(x,\eta )(y-y_{0}).

Sommando membro a membro e riconsiderando la differenza valutata in partenza si ottiene^[1]

f(x,y)-f(x_{0},y_{0})=f_{x}(\xi ,y_{0})(x-x_{0}) f_{y}(x,\eta )(y-y_{0}),

{\frac {f(x,y)-f(x_{0},y_{0})-f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})-f_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})}{\sqrt {(x-x_{0})^{2} (y-y_{0})^{2}}}}={\frac {f_{x}(\xi ,y_{0})(x-x_{0}) f_{y}(x,\eta )(y-y_{0})-f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})-f_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})}{\sqrt {(x-x_{0})^{2} (y-y_{0})^{2}}}}.

Il secondo membro a sua volta può essere scritto come^[1]

{\frac {(x-x_{0})[f_{x}(\xi ,y_{0})-f_{x}(x_{0},y_{0})] (y-y_{0})[f_{y}(x,\eta )-f_{y}(x_{0},y_{0})]}{\sqrt {(x-x_{0})^{2} (y-y_{0})^{2}}}}.

Le quantità ${\frac {(x-x_{0})}{\sqrt {(x-x_{0})^{2} (y-y_{0})^{2}}}}$ e ${\frac {(y-y_{0})}{\sqrt {(x-x_{0})^{2} (y-y_{0})^{2}}}}$ sono entrambe limitate in valore assoluto. Infatti, dalla disuguaglianza triangolare segue che

{\frac {|x-x_{0}|}{||x-x_{0},y-y_{0}||}}\leq {\frac {||x-x_{0},y-y_{0}||}{||x-x_{0},y-y_{0}||}}=1,

e analogamente

{\frac {|y-y_{0}|}{||x-x_{0},y-y_{0}||}}\leq {\frac {||x-x_{0},y-y_{0}||}{||x-x_{0},y-y_{0}||}}=1.

Inoltre quando $x\to x_{0}$ e $y\to y_{0}$ anche $\xi \to x_{0}$ e $\eta \to y_{0}$ per quanto scritto sopra. Questo, per la continuità delle derivate, implica che $|f_{x}(\xi ,y_{0})-f_{x}(x_{0},y_{0})|\to 0$ e $|f_{y}(x,\eta )-f_{y}(x_{0},y_{0})|\to 0,$ dimostrando così il teorema.