Quantile

In statistica il quantile di ordine α o α-quantile (con α un numero reale nell'intervallo [0,1]) è un valore q_α che divide la popolazione in due parti, proporzionali ad α e (1-α) e caratterizzate da valori rispettivamente minori e maggiori di q_α. Per poter calcolare un quantile di ordine α è necessario che il carattere sia almeno ordinato, cioè sia possibile definire un ordinamento sulle modalità.

Densità di probabilità di una distribuzione normale con quartili in evidenza. L'area sotto la curva rossa è la stessa negli intervalli (−∞,Q₁), (Q₁,Q₂), (Q₂,Q₃) e (Q₃, ∞)

I quantili in statistica

Il quantile di ordine α è la più piccola modalità q_α per cui la frequenza cumulata relativa, calcolata fino a q_α inclusa, raggiunge o supera α, ossia tale che la somma delle frequenze relative fino a quella modalità (inclusa) sia almeno α. Di conseguenza la somma delle frequenze relative successive a quella modalità sarà non superiore a 1-α. Il quantile non è necessariamente unico, soprattutto nel caso di caratteri qualitativi ordinati o quantitativi discreti. Nel caso si abbiano classi di valori si usa talvolta "supporre" che i valori siano distribuiti in modo uniforme all'interno di ciascuna classe, in modo da calcolare il quantile (per interpolazione) su una funzione continua.

In particolare il quantile di ordine 0 è un qualunque valore inferiore al minimo della popolazione; similmente il quantile di ordine 1 è un qualunque valore superiore al massimo della popolazione.

I quantili possono anche venire utilizzati per indicare delle classi di valori: ad esempio l'insieme della popolazione "entro il terzo decile" indica quel 30% di popolazione con i valori più bassi.

I quantili in probabilità

Nel caso di una densità di probabilità la funzione di ripartizione F è continua e il quantile di ordine α è definito da F(q_α)=α. Questo quantile può non essere unico se la funzione di densità è nulla in un intervallo, ovvero se la funzione di ripartizione è costante ed assume il valore α per più di un valore q_α; ciononostante per ognuno di questi valori la distribuzione viene correttamente divisa in due parti proporzionali ad α e (1-α), in quanto un intervallo a densità nulla non contribuisce al calcolo della probabilità, quindi non fa differenza quale punto dell'intervallo si scelga come q_α.

Nel caso di una densità discreta il quantile di ordine α è un valore q_α nel quale la somma delle probabilità discrete sia maggiore o uguale ad α, ovvero tale che la somma delle probabilità fino a quel valore incluso sia almeno α e che la somma delle probabilità discrete da quel valore in poi (incluso) sia maggiore o uguale a 1-α. Nel caso discreto, oltre alla non unicità del quantile, si può avere una divisione della distribuzione non proporzionale ad α e 1-α (del resto una variabile discreta può essere divisa solo in un numero discreto di modi).
Il quantile di ordine α=0,1 (anche detto primo decile) è quel valore della distribuzione per cui la probabilità cumulata fino a qual valore, incluso, sia maggiore o uguale a 0,1, e la probabilità cumulata da quel valore, incluso, in poi sia maggiore o uguale a 0,9.
Il quantile di ordine α=0,5 (la mediana) è quel valore della distribuzione per cui la probabilità cumulata fino a qual valore, incluso, sia maggiore o uguale a 0,5, e la probabilità cumulata da quel valore, incluso, in poi sia maggiore o uguale a 0,5.

Particolari quantili

I quantili di ordini "semplici", ad esempio quelli espressi come frazioni (cioè quando α è un numero razionale), vengono anche chiamati con altri nomi. I quantili di ordini 1/n, 2/n, ..., (n-1)/n dividono la popolazione in n parti ugualmente popolate; il quantile di ordine α=m/n è detto m-esimo n-ile.

• La mediana è il quantile di ordine 1/2.
• I quartili sono i quantili di ordini 1/4, 2/4 e 3/4.

Altri particolari quantili sono:

• I quintili, di ordine m/5, dividono la popolazione in 5 parti uguali.
• I decili, di ordine m/10, dividono la popolazione in 10 parti uguali.
• I ventili, di ordine m/20, dividono la popolazione in 20 parti uguali.
• I centili, di ordine m/100, dividono la popolazione in 100 parti uguali. Vengono anche chiamati percentili, esprimendo l'ordine in percentuale: m/100=m%.

A causa della scrittura in frazioni, alcuni quantili hanno più di un nome: il secondo quartile è la mediana (2/4=1/2), ogni quintile è anche un decile (m/5=2m/10) e così via. Per lo stesso motivo il primo ed il terzo quartile sono rispettivamente le mediane della metà inferiore e della metà superiore della popolazione.

I ventili e i centili esprimono livelli di confidenza molto utilizzati: 1%, 5%, 95%, 99%.
La media aritmetica dei ventili dal primo al diciannovesimo è detta media ventile ed è uno stimatore robusto della media. I ventili sono anche utilizzati per definire indici di simmetria e curtosi.

Bibliografia

• G. Leti (1983): Statistica descrittiva, Bologna, Il Mulino, ISBN 88-15-00278-2.
• Sheldon M. Ross, 3.3.1 Percentili campionari, in Introduzione alla statistica, Apogeo Editore, 2008, ISBN 978-88-503-2622-8.
• Richard A. Johnson, 2.6 Quartili e percentili, in Probabilità e statistica per Ingegneria e Scienze, Pearson, 2007, ISBN 978-88-7192-348-2.
• Sheldon M. Ross, 2.3.3 Percentili campionari e box plot, in Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze, Apogeo Editore, 2008, ISBN 978-88-503-2580-1.
• Francesca Cristante, Adriana Lis; Marco Sambin, III.3.9 Prime misure di posizione: percentili, in Statistica per psicologi, Firenze, Giunti Editore, 2001, ISBN 88-09-02176-2.

Voci correlate

• Quartile
• Mediana (statistica)
• Funzione di ripartizione
• Statistica
• Statistica descrittiva

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Collegamenti esterni

• quantile / frattile, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• quantile, in Dizionario delle scienze fisiche, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.
• quantile, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• Samantha Leorato, quantile, in Dizionario di Economia e Finanza, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2012.
• (EN) Eric W. Weisstein, Quantile, su MathWorld, Wolfram Research.
• Percentile, in Treccani.it – Enciclopedie on line, Roma, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

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