Punto periodico

In matematica, un punto periodico con periodo $n$ di una funzione $f$ è un punto $x_{0}$ del dominio di $f$ in cui si verifica:

$f^{n}(x_{0})=x_{0}$

dove $f^{n}$ è definita ricorsivamente da:

$f^{0}(x)=x\qquad f^{n}(x)=f(f^{n-1}(x))$

Il più piccolo $n$ per cui $x_{0}$ è un punto periodico è detto periodo primitivo o periodo minimo. Se tutti i punti del dominio di una funzione sono periodici con il medesimo periodo $n$, si sta considerando una funzione periodica di periodo $n$. Un punto fisso è un punto periodico con periodo primitivo 1.

Nello studio dei sistemi dinamici, ogni punto di un'orbita periodica è un punto periodico per l'orbita.

Sistemi dinamici

Un punto periodico di un sistema dinamico è un punto di una traiettoria periodica (chiusa) non costante percorsa dal sistema dinamico. Ovvero, dato un sistema dinamico reale $(\mathbb {R} ,X,\Phi )$, con $X$ lo spazio delle fasi e $\Phi :\mathbb {R} \times X\to X$ la sua evoluzione, un punto $x\in X$ è periodico con periodo $T$ se:

$\Phi (t T,x)=\Phi (t,x)$

$\Phi (t t',x)\neq \Phi (t,x)\qquad 0<t'<T$

Se $x$ è un punto periodico il relativo insieme limite coincide con la traiettoria periodica alla quale $x$ appartiene.

Punti iperbolici

Se $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ è una funzione differenziabile, un punto fisso $x$ è detto iperbolico se la matrice jacobiana di $f$ in $x$ non ha autovalori di modulo 0 o 1. Un punto periodico di periodo $n$ è detto punto periodico iperbolico se è un punto fisso iperbolico per $f$.

Se ogni autovalore $\lambda$ della jacobiana di $f$ calcolata in un punto periodico iperbolico $x$ soddisfa $0<|\lambda |<1$ allora $x$ è detto "pozzo" o attrattore; se ogni autovalore $\lambda$ della jacobiana di $f$ in $x$ soddisfa $|\lambda |>1$ allora $x$ è chiamato "sorgente", altrimenti è un punto di sella.

Bibliografia

• (EN) L. Markus, Lectures in differentiable dynamics , Amer. Math. Soc. (1980) pp. Appendix II MR0309152 Zbl 0214.50701
• (EN) D.A. Neumann, "Existence of periodic orbits on 2-manifolds" J. Differential Eq. , 27 (1987) pp. 313–319 MR0482857 Zbl 0337.34041
• (EN) P.H. Rabinowitz; A. Ambrosetti; I. Ekeland; E.J. Zehnder, Periodic solutions of Hamiltonian systems and related topics , Proc. NATO Adv. Res. Workshop, 1986 , Reidel (1987)

Voci correlate

• Ciclo limite
• Orbita (matematica)
• Funzione periodica
• Punto fisso
• Sistema dinamico
• Teorema di Sharkovsky

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Punto periodico, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Punto periodico, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.