Orbita (matematica)
In matematica e in particolare in geometria differenziale, l'orbita di un sistema dinamico è una traiettoria percorsa dal sistema nello spazio delle fasi, ovvero una funzione che soddisfa l'equazione che definisce il sistema dinamico stesso.
Se il sistema dinamico è continuo, cioè è determinato da un'equazione differenziale ordinaria autonoma:
con un campo vettoriale differenziabile definito nello spazio delle fasi , un'orbita è una soluzione dell'equazione. Dal momento che il flusso del sistema nel punto è la soluzione quando è preso come il punto di inizio dell'evoluzione del sistema, ovvero , si ha che l'orbita passante per è talvolta scritta come l'insieme:
Definizione
modificaDato un sistema dinamico dove è un gruppo, un insieme e , con , si definisce:
Allora l'insieme:
è l'orbita passante per . Se l'orbita consiste in un solo punto allora si dice orbita costante; ad esempio l'orbita in corrispondenza di un punto di equilibrio.
Un'orbita non costante è detta orbita periodica o orbita chiusa se esiste tale per cui per ogni punto dell'orbita.
Sistemi dinamici continui (flussi)
modificaDato un sistema dinamico continuo su con evoluzione , sia un intervallo aperto:
La curva:
è la semi-orbita positiva passante per , mentre:
è la semi-orbita negativa passante per .
Sistemi dinamici discreti (mappe)
modificaSi consideri un sistema discreto avente funzione di evoluzione (ricorsiva) , con il numero di iterazione. Detto il punto iniziale, l'orbita passante per è:
dove:
e:
Sistemi dinamici in due dimensioni
modificaDato un sistema di equazioni differenziali in del seguente tipo:
La curva descritta nel piano al variare di da ogni soluzione e del sistema è la traiettoria del sistema. Se il sistema soddisfa le ipotesi del teorema di esistenza e unicità di Cauchy, allora per ogni punto del piano passa un'orbita e una sola del sistema.
Le equazioni del sistema si possono interpretare da un punto di vista cinematico: il sistema descrive il moto di una particella la cui velocità è data in ogni punto da . Le orbite del sistema sono le traiettorie chiuse descritte dalla particella e i punti critici sono i punti di equilibrio.
Sistemi dinamici lineari
modificaL'andamento qualitativo delle soluzioni del sistema:
si ottiene derivando la prima equazione e inserendo al posto di la seconda:
Dalla prima equazione si ricava e sostituendo si ottiene l'equazione lineare:
riordinando i termini:
Si è così dimostrato che se è una soluzione del sistema lineare allora le funzioni e risolvono l'uguaglianza precedente, la cui equazione caratteristica è:
e coincide con il polinomio caratteristico della matrice dei coefficienti del sistema assegnato:
ossia:
Dunque le radici:
sono gli autovalori della matrice .
Il comportamento delle soluzioni del sistema dipende dalla natura degli autovalori, e si distinguono i vari casi:
- Nodo stabile:
- Nodo instabile:
- Sella (instabile): e oppure e
- Centro (stabile):
- Fuoco stabile: con
- Fuoco instabile: con
Bibliografia
modifica- (EN) Anatole Katok and Boris Hasselblatt, Introduction to the modern theory of dynamical systems, Cambridge, 1996, ISBN 0-521-57557-5.