Orbita (matematica)

Disambiguazione – Se stai cercando la nozione generale di orbita di un elemento di un insieme sotto un'azione di gruppo, vedi azione di gruppo.

In matematica e in particolare in geometria differenziale, l'orbita di un sistema dinamico è una traiettoria percorsa dal sistema nello spazio delle fasi, ovvero una funzione che soddisfa l'equazione che definisce il sistema dinamico stesso.

Se il sistema dinamico è continuo, cioè è determinato da un'equazione differenziale ordinaria autonoma:

con un campo vettoriale differenziabile definito nello spazio delle fasi , un'orbita è una soluzione dell'equazione. Dal momento che il flusso del sistema nel punto è la soluzione quando è preso come il punto di inizio dell'evoluzione del sistema, ovvero , si ha che l'orbita passante per è talvolta scritta come l'insieme:

Definizione

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Orbita periodica di un moto armonico.

Dato un sistema dinamico   dove   è un gruppo,   un insieme e  , con  , si definisce:

 

Allora l'insieme:

 

è l'orbita passante per  . Se l'orbita consiste in un solo punto allora si dice orbita costante; ad esempio l'orbita in corrispondenza di un punto di equilibrio.

Un'orbita non costante è detta orbita periodica o orbita chiusa se esiste   tale per cui   per ogni punto   dell'orbita.

Sistemi dinamici continui (flussi)

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Dato un sistema dinamico continuo su   con evoluzione  , sia   un intervallo aperto:

 

La curva:

 

è la semi-orbita positiva passante per  , mentre:

 

è la semi-orbita negativa passante per  .

Sistemi dinamici discreti (mappe)

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Si consideri un sistema discreto avente funzione di evoluzione (ricorsiva)  , con   il numero di iterazione. Detto   il punto iniziale, l'orbita passante per   è:

 

dove:

 

e:

 

Sistemi dinamici in due dimensioni

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Dato un sistema di equazioni differenziali in   del seguente tipo:

 

La curva descritta nel piano al variare di   da ogni soluzione   e   del sistema è la traiettoria del sistema. Se il sistema soddisfa le ipotesi del teorema di esistenza e unicità di Cauchy, allora per ogni punto del piano passa un'orbita e una sola del sistema.

Le equazioni del sistema si possono interpretare da un punto di vista cinematico: il sistema descrive il moto di una particella   la cui velocità   è data in ogni punto da  . Le orbite del sistema sono le traiettorie chiuse descritte dalla particella e i punti critici sono i punti di equilibrio.

Sistemi dinamici lineari

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  Lo stesso argomento in dettaglio: Sistema dinamico lineare.

L'andamento qualitativo delle soluzioni del sistema:

 

si ottiene derivando la prima equazione e inserendo al posto di   la seconda:

 

Dalla prima equazione si ricava   e sostituendo si ottiene l'equazione lineare:

 

riordinando i termini:

 

Si è così dimostrato che se   è una soluzione del sistema lineare allora le funzioni   e   risolvono l'uguaglianza precedente, la cui equazione caratteristica è:

 

e coincide con il polinomio caratteristico della matrice dei coefficienti del sistema assegnato:

 

ossia:

 

Dunque le radici:

 

sono gli autovalori della matrice  .

Il comportamento delle soluzioni del sistema dipende dalla natura degli autovalori, e si distinguono i vari casi:

  • Nodo stabile:  
  • Nodo instabile:  
  • Sella (instabile):   e   oppure   e  
  • Centro (stabile):  
  • Fuoco stabile:   con  
  • Fuoco instabile:   con  

Bibliografia

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  • (EN) Anatole Katok and Boris Hasselblatt, Introduction to the modern theory of dynamical systems, Cambridge, 1996, ISBN 0-521-57557-5.

Voci correlate

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