Immagine (matematica)

In matematica, l'immagine di un sottoinsieme del dominio di una funzione è l'insieme degli elementi ottenuti applicando la funzione a tale sottoinsieme. Si tratta quindi di un sottoinsieme del codominio della funzione. L'immagine degli elementi dell'intero dominio è anche detta immagine della funzione, e se la funzione è suriettiva essa coincide col codominio.

Talvolta la nozione di immagine è data per il singolo elemento del dominio. In tal caso, l'insieme contenente le immagini di un sottinsieme del dominio viene chiamato, per l'appunto, insieme delle immagini.^[1]^[2]

Definizione

Sia $f\colon A\to B$ una funzione. Si definisce immagine di $A$ tramite $f$ , o immagine di $f$ , il sottoinsieme di $B$ così definito:

{\begin{matrix}f(A)&:=&\left\{b\in B\left|\right.b=f(a)\ {\mbox{per qualche}}\ a\in A\right\}&=\\[1ex]&=&\left\{b\in B\left|\right.\exists \,a\in A\left|\right.b=f(a)\right\}&=\\[1ex]&=&\left\{f(a)\in B\left|\right.a\in A\right\}\subseteq B,\end{matrix}}

ove l'uguaglianza con $B$ sussiste se e solo se la funzione $f$ è suriettiva.

Si tratta, quindi, di quegli elementi $b$ di $B$ per i quali esiste un elemento di $A$ che venga portato in $B$ da $f$ .

Notare che nello scrivere $f(A)$ si è attuato un leggero abuso di notazione, in quanto $f$ è una trasformazione che agisce sugli elementi di $A$ , non su $A$ stesso. Tale uso è però talmente diffuso che sarebbe inutile provare a combatterlo. Altre notazioni, che non provocano alcun imbarazzo formale e che trovano comunque un certo seguito, sono: $f[A]$ e $\mathrm {Im} f.$

Più in generale, se $A_{1}\subseteq A$ è un sottoinsieme del dominio $A$ si chiama immagine di $A_{1}$ tramite $f$ l'insieme:

f(A_{1}):=\left\{b\in B\left|\right.b=f(a)\ {\mbox{per qualche}}\ a\in A_{1}\right\}\subseteq B.

Se $a\in A$ , si chiama immagine di $a$ tramite $f$ l'unico elemento $f(a)\in B$ associato ad $a$ da $f$ .

Proprietà

Considerata una funzione $f\colon A\to B$ , valgono le seguenti proprietà:

$f(\varnothing )=\varnothing .$
Se $A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A$ allora $f(A_{1})\subseteq f(A_{2})\subseteq f(A).$
L'immagine dell'unione di due insiemi è l'unione delle due immagini. In simboli: $f(A_{1}\cup A_{2})=f(A_{1})\cup f(A_{2}).$
- In generale: $f\left(\bigcup _{i}A_{i}\right)=\bigcup _{i}f(A_{i}).$
L'immagine dell'intersezione di due insiemi è contenuta nell'intersezione delle due immagini. In simboli: $f(A_{1}\cap A_{2})\subseteq f(A_{1})\cap f(A_{2})$ e l'uguaglianza vale se la funzione $f$ è iniettiva.
- In generale: $f\left(\bigcap _{i}A_{i}\right)\subseteq \bigcap _{i}f(A_{i}).$
L'immagine della differenza di due insiemi contiene la differenza delle due immagini. In simboli: $f\left(A_{1}\setminus A_{2}\right)\supseteq f(A_{1})\setminus f(A_{2})$ e l'uguaglianza vale se e solo se $f(A_{2})\cap f(A_{1}\setminus A_{2})=\varnothing .$

Metodi di calcolo

È un esercizio utile e proposto regolarmente nelle scuole quello, data una funzione, di identificare la sua immagine. Per fare questo, se non si è in grado di farlo a priori (ad esempio, è noto senza fare alcun calcolo che la funzione $x^{2}$ ha come immagine tutta la semiretta positiva delle ordinate $y$ , compreso lo zero), ci sono due metodi: o, con gli strumenti dell'analisi matematica, si identificano gli intervalli di monotonia e i massimi e i minimi, o, con calcoli puramente algebrici, si esplicita la $x$ in funzione della $y$ , trovando in pratica la funzione inversa; ad esempio, se

f(x)=y=e^{x^{2}}-5,

allora la sua inversa si ottiene mediante:

y 5=e^{x^{2}}\Longleftrightarrow \ln(y 5)=x^{2}\Longleftrightarrow \pm {\sqrt {\ln(y 5)}}=x.

Visto che nei vari passaggi si è applicato prima un logaritmo e poi una radice quadrata, si ottengono delle restrizioni, le uniche, per la $y$ , precisamente $y 5>0$ e $\ln(y 5)\geq 0.$ L'intersezione di queste due condizioni dà l'immagine, poiché i valori di $y$ risultanti possiedono, per costruzione, un valore di partenza (dato dall'espressione trovata); in questo caso, dunque, l'immagine è $[-4, \infty ).$