Base duale

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la base duale è una particolare base costruita a partire da una base data. Il concetto di base duale è utile nello studio dello spazio duale e dei tensori.

Definizione

Dato uno spazio vettoriale $V$ su campo $K$ di dimensione finita $n$ , lo spazio duale $V^{*}$ è l'insieme di tutte le applicazioni lineari da $V$ in $K$ .

Fissata per $V$ una base $({\textbf {e}}_{1},\ldots ,{\textbf {e}}_{n})$ , la base duale $({\textbf {e}}^{1},\ldots ,{\textbf {e}}^{n})$ è una base di $V^{*}$ univocamente determinata dalle seguenti relazioni:

{\textbf {e}}^{i}({\textbf {e}}_{j})=\delta _{ij},

dove $\delta _{ij}$ è la delta di Kronecker.

Proprietà della base duale

Effetto su un vettore

Ogni vettore ${\textbf {v}}$ di $V$ può essere espresso in modo univoco come combinazione lineare degli elementi della base:

{\textbf {v}}=\sum _{i=1}^{n}v^{i}{\textbf {e}}_{i}=v^{i}{\textbf {e}}_{i},

dove l'ultima notazione è quella cosiddetta di Einstein.

Il risultato dell'applicazione di ${\textbf {e}}^{i}$ su ${\textbf {v}}$ è il seguente:

{\textbf {e}}^{i}({\textbf {v}})={\textbf {e}}^{i}\left(\sum _{k=1}^{n}v^{k}{\textbf {e}}_{k}\right)=\sum _{k=1}^{n}v^{k}\delta _{ik}=v^{i}.

Quindi ${\textbf {e}}^{i}$ è l'applicazione che "estrae" da un vettore ${\textbf {v}}$ la $i$ -ma componente $v^{i}$ delle sue coordinate rispetto alla base. Tale applicazione è a volte chiamata proiettore: può infatti essere interpretata come una proiezione sulla retta generata da ${\textbf {e}}_{i}$ .

Coordinate rispetto alla base duale

Sia $f$ un generico elemento di $V^{*}$ , cioè una applicazione lineare $f$ da $V$ a $K$ . Applicata su un vettore

{\textbf {v}}=\sum _{i=1}^{n}v^{i}{\textbf {e}}_{i}=v^{i}{\textbf {e}}_{i}

produce la relazione:

f({\textbf {v}})=\sum _{i=1}^{n}v^{i}f({\textbf {e}}_{i})=v^{i}f({\textbf {e}}_{i}).

L'applicazione $f$ è quindi univocamente definita da come agisce sugli elementi della base di $V$ . D'altra parte la $f$ trasforma un vettore in un elemento del campo $K$ , per cui la $f$ è definita dagli $n$ "numeri":

f_{i}=f({\textbf {e}}_{i}).

Di conseguenza, la $f$ è ottenuta come combinazione lineare degli ${\textbf {e}}^{i}$ :

f=\sum _{i=1}^{n}f_{i}{\textbf {e}}^{i}=f_{i}{\textbf {e}}^{i}.

Infatti vale la relazione:

f({\textbf {v}})=\sum _{i=1}^{n}f_{i}{\textbf {e}}^{i}({\textbf {v}})=\sum _{i=1}^{n}f_{i}v^{i}=f_{i}v^{i}.

Ogni applicazione $f$ in $V^{*}$ può essere quindi espressa in modo univoco come combinazione lineare delle applicazioni ${\textbf {e}}^{i}$ , e pertanto:

$({\textbf {e}}^{1},\ldots ,{\textbf {e}}^{n})$ è effettivamente una base di $V^{*}$ , che ha quindi dimensione $n$ ;
le $f_{i}$ sono le coordinate di $f$ rispetto a tale base.

Dualità delle basi e degli spazi

Dualità delle basi

Le basi di $V$ e $V^{*}$ presentano la seguente simmetria:

applicando ${\textbf {e}}^{i}$ a un vettore ${\textbf {v}}$ si ottiene la i-esima componente di ${\textbf {v}}$ rispetto alla base $({\textbf {e}}_{1},\ldots ,{\textbf {e}}_{n})$ di $V$ :

{\textbf {e}}^{i}({\textbf {v}})=v^{i};

applicando una applicazione $f$ a ${\textbf {e}}_{i}$ si ottiene la i-esima componente di $f$ rispetto alla base $({\textbf {e}}^{1},\ldots ,{\textbf {e}}^{n})$ di $V^{*}$ :

f({\textbf {e}}_{i})=f_{i}.

Le due relazioni esprimono una "dualità" delle due basi.

Dualità degli spazi

Un altro modo per esprimere questa dualità si ottiene considerando lo spazio duale di $V^{*}$ , detto anche spazio biduale di $V$ , che si indica con $V^{**}$ ed è costituito dall'insieme di tutte le applicazioni lineari su $V^{*}$ . Poiché $V^{*}$ , come si è visto, è uno spazio vettoriale di dimensione $n$ , anche $V^{**}$ lo è.

Ora risulta cruciale osservare che ogni elemento di $V^{**}$ resta "naturalmente" associato ad un vettore di $V$ . Infatti, è possibile associare ad un vettore ${\textbf {v}}$ di $V$ l'applicazione $F_{v}$ di $V^{**}$ che agendo sull'applicazione $f$ produce lo stesso scalare che produce $f$ agendo su ${\textbf {v}}$ :

F_{v}(f)=f({\bar {\textbf {v}}}).

L'applicazione da $V$ in $V^{**}$ definita da

{\textbf {v}}\mapsto F_{v}

è un isomorfismo canonico, che non dipende cioè dalla scelta delle basi. Gli spazi $V$ e $V^{**}$ sono quindi naturalmente identificati. Analogamente, gli spazi $V^{*}$ e $V^{***}$ sono naturalmente identificati.

Questa dualità fra spazi riflette quella fra le basi: la base duale di $({\textbf {e}}^{1},\ldots ,{\textbf {e}}^{n})$ è effettivamente $(F_{e_{1}},\ldots ,F_{e_{n}})$ . Infatti:

F_{e_{i}}(f)=f({\textbf {e}}_{i})=f_{i}.

Applicazioni bilineari

La dualità può essere espressa in modo più evidente interpretando l'applicazione di un funzionale $f$ ad un vettore ${\textbf {v}}$ - che fino ad ora abbiamo scritto come $f({\textbf {v}})$ mettendo in evidenza che $f$ è una applicazione da $V$ a $K$ - come una applicazione bilineare da $V^{*}\times V$ a $K$ , definita nel modo seguente:

\langle ,\rangle :V^{*}\times V\to K

\langle f,{\textbf {v}}\rangle =f({\textbf {v}})=F_{v}(f).

L'applicazione bilineare associa ad ogni coppia di elementi di $V^{*}$ e di $V$ uno scalare. L'operazione $\langle f,{\textbf {v}}\rangle$ può essere intesa in duplice senso: come una applicazione $f$ che agisce su un vettore ${\textbf {v}}$ o come un vettore ${\textbf {v}}$ (anzi, $F_{v}$ ) che agisce su una applicazione $f$ .

Così facendo le dualità degli spazi e delle basi possono essere espresse in forma "simmetrica" e sintetica nel modo seguente:

\langle {\textbf {e}}^{i},{\textbf {v}}\rangle =v^{i},\qquad \langle f,{\textbf {e}}_{i}\rangle =f_{i}.

In particolare se tali relazioni si applicano agli elementi delle due basi, si ottiene la relazione originaria:

\langle {\textbf {e}}^{i},{\textbf {e}}_{j}\rangle =\delta _{ij}.

Identificazione di V e V^*

In matematica, un isomorfismo è naturale se la sua costruzione è univoca, non dipende cioè da nessuna scelta. Come visto sopra, esiste un isomorfismo naturale fra $V$ e $V^{**}$ . Invece in generale non esiste un modo altrettanto naturale di associare gli elementi di $V$ a quelli di $V^{*}$ . Trattandosi di spazi aventi le stesse dimensioni, esiste (per il teorema della dimensione) un isomorfismo fra questi: tuttavia questo isomorfismo, per essere determinato concretamente, dovrà fare riferimento a qualche scelta determinante. La scelta può consistere nella costruzione di una base o di un prodotto scalare per $V$ .

Isomorfismo tramite scelta di base

Un isomorfismo tra $V$ e $V^{*}$ può essere costruito a partire da una base $({\textbf {e}}_{1},\ldots ,{\textbf {e}}_{n})$ per $V$ . Questa determina una base duale ${\textbf {e}}^{1},\ldots ,{\textbf {e}}^{n}$ , e l'isomorfismo fra $V$ e $V^{*}$ associa al vettore ${\textbf {v}}$ avente componenti $v^{i}$ l'applicazione $f$ avente uguali componenti $f_{i}=v^{i}$ rispetto a ${\textbf {e}}^{i}$ .

Prendendo un'altra base di partenza, l'applicazione associata a ${\textbf {v}}$ non è però più necessariamente la stessa $f$ : in questo senso, l'isomorfismo non è naturale.

Isomorfismo tramite prodotto scalare

È possibile definire un isomorfismo tra $V$ e $V^{*}$ a partire da un prodotto scalare per $V$ , cioè una particolare applicazione bilineare:

\langle ,\rangle \colon V\times V\to K

\langle ,\rangle \colon ({\textbf {w}},{\textbf {v}})\to \langle {\textbf {w}},{\textbf {v}}\rangle .

Grazie a questo prodotto scalare è possibile associare ad un vettore ${\textbf {w}}$ di $V$ l'applicazione $f_{w}$ tale che:

\langle f_{w},{\textbf {v}}\rangle =\langle {\textbf {w}},{\textbf {v}}\rangle .

In questa relazione, l'applicazione bilineare di sinistra è quella naturale definita precedentemente, mentre quella di destra è il prodotto scalare su $V$ . Qualora si identifichi $V$ e $V^{*}$ in questo modo, anche queste due applicazioni bilineari risultano essere identificate.

Anche in questo caso, l'isomorfismo non è naturale, perché dipende dalla scelta di un prodotto scalare per $V$ .

Esempi

La base standard di $\mathbb {R} ^{2}$ (il piano cartesiano) è:

\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\}=\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\}

mentre la base standard del suo duale ${\mathbb {R} ^{2}}^{*}$ è:

\{\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2}\}=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}}\right\}.

In tre dimensioni, per una data base $\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\}$ si può trovare la base duale (o biortogonale) $\{\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2},\mathbf {e} ^{3}\}$ con le formule:

\mathbf {e} ^{1}=\left({\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{V}}\right)^{T},\ \mathbf {e} ^{2}=\left({\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{V}}\right)^{T},\ \mathbf {e} ^{3}=\left({\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{V}}\right)^{T},

dove l'apice $T$ indica la trasposta e

V=\det \left(\mathbf {e} _{1};\mathbf {e} _{2};\mathbf {e} _{3}\right)=\mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})=\mathbf {e} _{2}\cdot (\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1})=\mathbf {e} _{3}\cdot (\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2})

è il volume orientato del parallelepipedo formato dai vettori $\mathbf {e} _{1}$ , $\mathbf {e} _{2}$ e $\mathbf {e} _{3}$ .

Bibliografia

(EN) P.M. Cohn, Algebra, Wiley (1982)
(EN) Lebedev, Leonid P.; Cloud, Michael J.; Eremeyev, Victor A. (2010). Tensor Analysis With Applications to Mechanics. World Scientific. ISBN 978-981431312-4

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Base duale, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) Base duale, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica