Kongruen

Dalam geometri, dua bangun datar atau objek lainnya disebut (saling) kongruen jika keduanya memiliki bentuk dan ukuran yang sama, atau salah satunya memiliki bentuk dan ukuran yang sama dari cerminan dari yang lain.

Definisi

Secara lebih formal, dua himpunan titik dikatakan kongruen jika dan hanya jika, himpunan yang satu dapat ditranformasi menjadi himpunan yang lain lewat isometri—dengan kata lain, kombinasi dari translasi, rotasi, dan refleksi. Hal ini mengartikan satu objek dapat dipindahkan dan dicerminkan (namun tidak diubah ukurannya) agar dapat tepat bertumpuk dengan objek lainnya.

Pada geometri dasar, kata kongruen (terkadang digantikan dengan kata sama) sering digunakan untuk hal-hal berikut:

• Dua segmen garis kongruen jika keduanya memiliki panjang yang sama.
• Dua sudut kongruen jika keduanya memiliki besar yang sama.
• Dua lingkaran kongruen jika keduanya memiliki panjang diameter yang sama.

Dalam konteks ini, dua bangun datar yang kongruen menyiratkan keduanya memiliki karakteristik yang sama, tidak hanya sisi dan sudut yang bersesuaian, namun juga termasuk diagonal, keliling, dan luasnya.

Pada geometeri analitis, sifat kekongruenan juga dapat didefinisikan secara intuitif: dua pemetaan ke dalam satu sistem koordinat Kartesius saling kongruen, jika dan hanya jika, untuk setiap dua titik dalam pemetaan pertama, jarak Euklides keduanya sama dengan jarak Euklides titik-titik yang bersesuaian dalam pemetaan kedua. Dalam bahasa yang lebih formal, dua subset $A$ dan $B$ dari ruang Euklides $\mathbb {R} ^{n}$ dikatakan kongruen jika terdapat isometri $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ (dari grup Euklides $E(n)$) yang memenuhi $F(A)=B$. Kekongruenan termasuk dalam relasi ekuivalensi.

Kekongruenan objek

Segitiga

Bentuk segitiga dapat ditentukan lewat sifat kekongruenan dengan menentukan ukuran dua sisi dan sudut diantaranya (SAS), atau dua sudut dan sebuah sisi (ASA, AAS, atau SAA). Namun, dua sisi dan sebuah sudut yang tidak diapit (seperti SSA) dapat menghasilkan dua segitiga yang berbeda.

Jika sebuah segitiga $\triangle \mathrm {ABC}$ kongruen dengan segitiga $\triangle \mathrm {DEF}$, hubungan keduanya dapat dituliskan secara matematis sebagai

$\triangle \mathrm {ABC} \cong \triangle \mathrm {DEF}$.

Pada kebanyakan kasus, dua segitiga dapat disimpulkan kongruen cukup dengan mengecek apakah keduanya memenuhi salah satu keadaan berikut:

• SAS (Side-Angle-Side, Sisi-Sudut-Sisi): Jika dua sisi pada kedua segitiga memiliki panjang yang sama, dan sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut memiliki besar yang sama, maka kedua segitiga tersebut kongruen.
• SSS (Side-Side-Side, Sisi-Sisi-Sisi): Jika ketiga sisi pada kedua segitiga memiliki panjang yang sama, maka kedua segitiga tersebut kongruen.
• ASA (Angle-Side-Angle, Sudut-Sisi-Sudut): Jika dua sudut pada kedua segitiga memiliki besar yang sama, dan sisi yang diapit oleh kedua sudut tersebut memiliki panjang yang sama, maka kedua segitiga tersebut kongruen.

Postulat ASA adalah hasil kontribusi Thales dari Miletus. Pada kebanyakan sistem aksioma, ketiga kriteria ini – SAS, SSS dan ASA – ditetapkan sebagai teorema. Pada geometri Euklides, nilai Sudut-Sudut-Sudut, AAA (Angle-Angle-Angle), tidak memberikan informasi apapun mengenai ukuran segitiga, sehingga hanya dapat menyimpulkan sifat kesebangunan. Namun, pada geometri bola dan geometri hiperbolik, dengan sifat ukuran segitiga berhubungan dengan total sudut-sudutnya, AAA cukup untuk menyimpulkan kekongruenan.

Irisan kerucut

Dua irisan kerucut kongruen jika eksentrisitas dan salah satu parameter mereka yang lainnya bernilai sama. Karena eksentrisitas berhubungan dengan bentuk, kesamaan antar keduanya cukup untuk menyimpulkan kesebangunan, sedangkan parameter yang lain untuk menyimpulkan ukuran. Karena dua lingkaran, dua parabola, maupun dua hiperbola memiliki eksentrisitas yang sama (yakni secara berurutan bernilai 0, 1, dan ${\sqrt {2}}$), mereka cukup memiliki satu parameter lain untuk menyimpulkan ukuran. Pada kasus lingkaran, hal ini dapat berupa radius, diameter, keliling, atau luas daerahnya.

Polihedron

Untuk dua polyhedron dengan jumlah tepi $E$, jumlah muka, dan jumlah sisi yang sama, memiliki suatu himpunan paling banyak $E$ pengukuran untuk mengecek apakah sifat kekongruenan keduanya. Untuk kubus yang memiliki 12 tepi, hanya memerlukan paling banyak 9 pengukuran untuk mengecek sifat kekongruenan.

Poligon

Ketiga poligon berikut memiliki keliling dan luas yang sama, tetapi urutan posisi sisi pada poligon biru yang diacak. Poligon jingga dan poligon hijau saling kongruen; sedangkan yang poligon biru tidak kongruen dengan mereka karena barisan sisi-sudut yang berbeda.

Agar dua poligon kongruen, keduanya perlu memiliki jumlah sisi yang sama (juga berarti memiliki jumlah titik yang sama) dan memiliki barisan sisi-sudut-sisi-sudut-... yang sama.

Segitiga pada permukaan bola

Serupa dengan pada bidang datar, dua segitiga pada permukaan bola yang memenuhi kondisi sudut-sisi-sudut (ASA) saling kongruen. Teorema kekongruenan sisi-sudut-sisi (SAS) dan sisi-sisi-sisi (SSS) juga berlaku pada permukaan bola. Selain itu, jika dua segitiga memiliki besar sudut-sudut-sudut (AAA) yang sama, keduanya saling kongruen. Hal ini berbeda dengan segitiga pada geometri Euklides, karena jumlah ketiga sudut segitiga pada permukaan bola berhubungan dengan ukuran segitiga.

Teorema sudut-sudut-sisi (AAS) tidak berlaku pada permukaan bola. Seperti pada bidang datar, sisi-sisi-sudut (SSA) tidak berlaku pada permukaan bola.

Notasi

Simbol yang umumnya digunakan untuk menandakan kekongruenan adalah simbol sama dengan dengan tilde di atasnya, ≅, berhubungan dengan karakter Unicode 'approximately equal to' (U 2245). Di beberapa tempat seperti Britania Raya, simbol sama dengan dengan tiga garis ≡ (U 2261) terkadang digunakan.

Pranala eksternal

• Teorema SSS di Cut-the-Knot
• Teorema SSA di Cut-the-Knot
• Animasi interaktif yang mendemonstrasikan kekongruenan dua poligon, sudut, segmen garis, segitiga, di Math Open Reference