Մնացորդով բաժանում

Կարկանդակը ունի 9 կտոր, կնշանակի 4 հոգուց յուրաքանչյուրը ստանում է 2 կտոր, իսկ 1-ը մնացել է

Մնացորդով բաժանում, թվաբանության, թվերի տեսության, հանրահաշվում և կրիպտոգրաֆիայում կարևոր դեր ունեցող թվաբանական գործողություն։ Հաճախ այս գործողությունը՝ ամբողջ և բնական թվերի համար, հետևյալ կերպ է սահմանվում․

Դիցուք, $a$ և $b$ -ն ամբողջ թվեր են, ընդորում, $b\neq 0$։ $a$ թվի մնացորդով բաժանում («բաժանելի») $b$-ի («բաժանարար») նշանակում է գտնել ամբողջ $q$ և $r$ թվեր, որոնց դեպքում տեղի ունի $a=b\cdot q r$հավասարությունը։

Այսպիսով, մնացորդով բաժանման արդյունքը երկու ամբողջ թվեր են՝ $q$ -ն կոչվում է թերի քանորդ, իսկ $r$-ը մնացորդ բաժանումից։ Մնացորդի պետք է բավարարի ևս մեկ պայմանի․ $0\leqslant r<|b|$, այսինքն, մնացորդը պիտի լինի ոչ բացասական թիվ և բացարձակ արժեքով բաժանարարից փոքր։ Ամբողջ թվերի համար այս պայմանը միանշանակ է, այսինքն, վերը նշված պայմանների դեպքում գոյություն ունի $a=b\cdot q r$ հավասարման միակ լուծում։ Մնացորդի 0-ի հավասար լինելու դեպքում ասում են, որ թվերը ամբողջությամբ բաժանվում են։

Օրինակ

• Դրական $a=78$ թվի և $b=33$-ի մնացորդով բաժանման դեպքում, կստանանք $q=2$ թերի քանորդ և $r=12$ մնացորդ։

Ստուգում․ $78=33\cdot 2 12.$

Բաժանում

• Բացասական $a=-78$ թվի և դրական $b=33$-ի մնացորդով բաժանման ժամանակ, կստանանք $q=-3$ թերի քանորդ և $r=21$ մնացորդ։

Ստուգում․ $-78=33\cdot (-3) 21.$

• Բացասական $a=-9$ թվի և բացասական $b=-13$ -ի մնացորդով բաժանման ժամանակ, կստանանք $q=1$ թերի քանորդ և $r=4$ մնաց

Ստուգում․ $-9=1\cdot (-13) 4.$

• Դրական $a=9$ թվի և $b=90$ մնացորդով բաժանման ժամանակ կստանան $q=0$ թերի քանորդ և $r=9$ մնացորդ։

Ստուգում․ $9=90\cdot 0 9.$

• $a=78$ թվի և $b=26$ մնացորդով բաժանման դեպքում կստանանք $q=3$ թերի քանորդ և $r=0$ մնացորդ։

Մնացորդով բաժանում կարող է տեղի ունենալ ոչ միայն ամբողջ թվերի այլ նաև ուրիշ մաթեմատիկական օբյեկտների միջև (օրինակ բազմանդամների)։

Սահմանում

Չխախտելով ամբողջ թվերի սահմանը, ստիպված ենք տարբերակել մնացորդով և ամբողջական բաժանումները, քանի որ զրո մնացորդը չի համարվում բնական թիվ, բացի այդ, թերի քանորդը, երբ բաժանվում է փոքր թիվը մեծ թվի վրա՝ պետք է հավասարվի զրոյի, ինչը դուրս է գալիս բնական թվերի սահմանից։ Նման արհեստական սահմանափակումները բարդացնում են սահմանումները, դրա համար կամ օգտագործվում է ընդլայնված բնական թվերի շարքը՝ զրոյի հետ միասին, կամ տեսությունը ձևակերպում է միանգամից ամբողջ թվերի համար։

$a$ և $b$ թվերի բաժանումից առաջացած թերի քանորդը գտնելու համար, անհրաժեշտ է սովորական ձևով բաժանել $a$-ն $b$-ին և կլորացնել արդյունքը մինչև մոտակա ամբողջ թիվը՝ փոքրի ուղղությամբ։

$q=\left\lfloor {\frac {a}{b}}\right\rfloor ,$ երբ $b>0$.

որտեղ կիսափակագծերը $\left\lfloor \cdot \right\rfloor$ նշանակում են ամբողջ մասի առանձնացում։ Թերի քանորդի $q$ արժեքը հաշվելը թույլ է տալիս հաշվել $r$ մնացորդը հետևյալ բանաձևով։

$r=a-b\cdot q.$

Բացասական բաժանարարի դեպքում անհրաժեշտ է ամբողջը կլորացնել մեծի ուղղությամբ։

$q=\left\lceil {\frac {a}{b}}\right\rceil ,$ երբ $b<0$.

«mod» օպերացիան և կապը համեմատությունների հետ

Մնացորդի մեծությունը կարող է ստացվել բինար գործողությամբ՝ $a$-ի և $b$-ի քանորդից մնացորդի վերցմամբ, որը նշանակվում է որպես mod

$r=a~~{\bmod {~}}~b.$

Հարկ է չշփոթել այդ նշանակումը բացարձակ արժեքի համեմատության $b$ նշանակման հետ։ $r$-ի համար բանաձևը բերում է համեմատության կատարմանը։

$r\equiv a{\pmod {b}},$

Այդ համեմատությունը չի ենթադրում $0\leqslant r<|b|$ անհավասարման տեղի ունենալու անհրաժեշտությունը,որի դեպքում $r$ լինի մնացորդ։

Ծրագրավորման մեջ

Թերի քանորդի և մնացորդի հաշվումը ծրագրավորման տարբեր լեզուներում

Լեզու	Թերի քանորդ	Մնացորդ	Մնացորդի նշանը
ActionScript		%	Բաժանելի
Ada		mod	Բաժանարար
		rem	Բաժանելի
Besic	\	MOD	Որոշված չէ
C (ISO 1990)	/	%	Որոշված չէ
C (ISO 1999)	/	%	Բաժանելի
C (ISO 2003)	/	%	Որոշված չէ
C (ISO 2011)	/	%	Բաժանելի
C#	/	%	Բաժանելի
ColdFusion		MOD	Բաժանելի
Common Lisp		mod	Բաժանարար
		rem	Բաժանելի
D	/	%	Բաժանելի
Delphi	div	mod	Բաժանելի
Eiffel	//	\\	Բաժանելի
Erlang	div	rem	Բաժանելի
Euphoria		remainder	Բաժանելի
Microsoft Excel (անգ․)	QUOTIENT()	MOD()	Բաժանարար
Microsoft Excel (ռուս․)	ЧАСТНОЕ()	ОСТАТ()
FileMaker	Div()	Mod()	Բաժանարար
Fortran		mod	Բաժանելի
		modulo	Բաժանելի
GML (Game Maker)	div	mod	Բաժանելի
Go	/	%	Բաժանելի
Haskell	div	mod	Բաժանարար
	quot	rem	Բաժանելի
J		|~	Բաժանարար
Java	/	%	Բաժանելի
	Math.floorDiv	Math.floorMod	Բաժանարար (1.8 )
JavaScript	.toFixed(0)	%	Բաժանելի
Lua		%	Բաժանարար
Mathematica	Quotient	Mod	Բաժանարար
MATLAB	idivide(?, ?, 'floor')	mod	Բաժանարար
	idivide	rem	Բաժանելի
MySQL	DIV	MOD %	Բաժանելի
Oberon	DIV	MOD	, եթե բաժանարարը >0
Objective Caml		mod	Որոշված չէ
Pascal	div	mod	Բաժանելի
Perl	Нет	%	Բաժանարար
PHP	Нет	%	Բաժանելի
PL/I		mod	Բաժնարար(ANSI PL/I)
Prolog (ISO 1995)		mod	Բաժանարար
PureBasic	/	Mod %	Բաժանելի
Python	//	%	Բաժանարար
QBasic	\	MOD	Բաժանելի
R		%%	Բաժանարար
RPG		%REM	Բաժանելի
Ruby	/	%	Բաժանարար
Scheme		modulo	Բաժանարար
SenseTalk		modulo	Բաժանարար
		rem	Բաժանելի
Tcl		%	Բաժանարար
Verilog (2001)		%	Բաժանելի
VHDL		mod	Բաժանարար
		rem	Բաժանելի
Visual Basic	\	Mod	Բաժանելի

Բաժանման մնացորդի գտնելը հաճախ օգտագործվում է համակարգչային տեխնիկայում և հեռուստատեսային սարքավորումներում՝ ստուգիչ թվերի և սահմանափակ միջակայքերում պատահական թվերի ստացման համար։

Տարբեր ծրագրավորման լեզուներով մնացորդի վերցնելը տրված է աղյուսակում։ Օրինակ Պասկալով modգործողությունը հաշվում է բաժանման մնացորդը, իսկdiv-ը կատարում է ամբողջական բաժանում, որի ժամանակ մնացորդը անտեսվում է

78 mod 33 = 12
78 div 33 = 2

Ընդհանրացում

Իրական թվեր

Եթե $a$ և $b$ երկու թվեր պատկանում են իրական թվերի բազմությանը և հավասար չեն զրոյի, ապա $a$-ն կարելի է բաժանել $b$-ի առանց մնացորդի, ընդ որում քանորդը իրականթիվ է։ Եթե ըստ պայմանի քանորդը պիտի լինի ամբողջ թիվ, ապա մնացորդը կլինիիրական թիվ,այսինքն կրող է լինել կոտորակային։

Ձևաբանորեն․ եթե $a,b\in \mathbb {R} ,b\neq 0$, ապա $a=bq r$, որտեղ $0\leqslant r<|b|$.

Օրինակ

7,9 -ը 2,1-ի մնացորդով բաժանման դեպքում ․

$\left\lfloor {\frac {7{,}9}{2{,}1}}\right\rfloor =3$ (թերի քանորդ)․

$7{,}9-3\cdot 2{,}1=1{,}6$ (մնացորդ)։

Գաուսի ամբողջ թվեր

Գաուսյան թիվը, դա $a bi$ տեսքի կոմպլեքս թիվ է, որտեղ a-ն և b-ն ամբողջ թվեր են և դրանց համար կարելի է սահմանել մնացորդով բաժանում։

Ցանկացած $u$ գաուսի թիվ կարելի է բաժանել զրոյից տարբեր $v$ թվի վրա, այսինքն ներկայացնել հետևյալ տեսքով․

$u=vq r$,

որտեղ $q$ քանորդը և $r$ մնացորդը գաուսյան թվեր են, ընդ որում $|r|<|v|$

Սակայն, ի տարբերություն ամբողջ թվերի, մնացորդը որոշվումը ոչ միանշանակ է։

Օրինակ․ $7 2i$ կարելի է բաժանել $3-i$ ՝ երեք եղանակով։

$7 2i=(3-i)(2 i) i=(3-i)(1 i) 3=(3-i)(2 2i) (-1-2i).$

Բազմանդամներ

Երկու $f(x)$ և $g(x)$ բազմանդամները մնացորդով բաժանելու համար պայման է ներմուծվում․

Մնացորդ բազմանդամի աստիճանը պիտի շատ անգամ փոքր լինի բաժանարարի աստիճանից։

$f(x)=q(x)g(x) r(x)$, причём $\deg(r)<\deg(g)$.

Օրինակ

${\frac {2x^{2} 4x 5}{x 1}}=2x 2$ (մնացորդ 3), քանի որ $1=2x^{2} 4x 5=(x 1)(2x 2) 3$.

Տես նաև

• Էվկլիդեսի ալգորիթմ
• Բաժանելիություն
• Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար
• Անընդհատ կոտորակ
• Մոդուլով համեմատում