Ընտրության աքսիոմ

Ընտրության աքսիոմ, բազմությունների տեսության աքսիոմ, որը համարժեք է հետևյալ արտահայտությանը «ոչ դատարկ բազմությունների հավաքածուի դեկարտյան արտադրյալը ոչ դատարկ է»։ Ոչ ֆորմալ ձևակերպմամբ, ըստ ընտրության աքսիոմի՝ եթե ունենք առնվազն մեկ տարր ունեցող արկղերի կամայական հավաքածում, ապա հնարավոր է ստեղծել հավաքածու, որը յուրաքանչյուր արկղից կպարունակի ճիշտ մեկ տարր, նույնիսկ եթե արկղերի հավաքածուն անվերջ է։ Ֆորմալ ձևակերպմամբ, ըստ աքսիոմի՝ դատարկ բազմությունների կամայական ինդեքսավորված $(S_{i})_{i\in I}$ ընտանիքի համար գոյություն ունի տարրերի ինդեքսավորված ընտանիք $(x_{i})_{i\in I}$ , այնպես որ կամայական $i\in I$ համար $x_{i}\in S_{i}$ ։ Ընտրության աքսիոմը 1904 թվականին ձևակերպել է Էրնստ Զերմեոն՝ լավ կարգավորման թեորեմը ֆորմալ ձևակերպելու համար^[1]։

Շատ դեպքերում ընտրությունը կարելի է անել առանց ընտրության աքսիոմը կիրառելու․ օրինակ երբ բազմությունների քանակը վերջավոր է կամ եթե գոյություն ունի ընտրության կանոն (ինչ-որ հատկություն, որը յուրաքանչյուր բազմությունում ունի միայն մեկ տարր)։ Օրինակ, բնական թվերի ենթաբազմությունների բազմության դեպքում յուրաքանչյուր բազմությունից կարելի է ընտրել ամենափոքր թիվը ({{4, 5, 6}, {10, 12}, {1, 400, 617, 8000}} բազմության դեպքում կստացվի {4, 10, 1} բազմությունը)։ Այս դեպքում «ընտրել ամենափոքր թիվը»-ը ընտրության ֆունկցիա է։ Նույնիսկ անվերջ քանակությմբ թվերի բնական թվերի դեպքում միշտ հնարավոր է ընտրել բնական թիվը։ Այսինքն, ընտրության ֆունկցիան տալիս է ընտրված տարրերի բազմությունը։ Սակայն, իրական թվերի բոլոր ոչ դատարկ ենթաբազմությունների հավաքածուի համար ոչ մի ընտրության ֆունկցիա հայտնի չէ (եթե գոյություն ունեն ոչ կառուցելի իրական թվեր)։ Այդ դեպքում պետք է կիրառել ընտրության աքսիոմը։

Որպես աքսիոմի անալոգիա, Բերտրան Ռասելը ասել է․ «կոշիկների զույգերի կամայական (նույնիսկ անվերջ) հավաքածուից հնարավոր է յուրաքանչյուր զույգից ընտրել ձախ կոշիկը և ունենալ համապատասխան ընտրությունը, սա հնարավորություն է տալիս սահմանել ընտրության ֆունկցիան։ Գուլպաների զույգերի անվերջ հավաքածուի (ենթադրելով, որ տարբերիչ ոչ մի առանձնահատկություն չկա) դեպքում ոչ մի ակնհայտ ֆունկցիա չկա, որը, առանց ընտրության աքսիոմը կիրառելու, յուրաքանչյուր զույգից կընտրի մեկ գուլա»^[2]։

Չնայած նախնական հակասություններին, մաթեմատիկոսների մեծ մասը այժմ առանց վերապահման օգտագործում է ընտրության աքսիոմը^[3], և ներառված է բազմությունների տեսության ստանդարտ ձևակերպման մեջ (Զերմելո-Ֆրաենկելի բազմությունների տեսությունը ընտրության աքսիոմով, ZFC)։ Կիրառության մոտիվացիաներից մեկն այն է, որ ընդունված մաթեմատիկական արդյունքներից շատերը, ինչպես օրինակ Տիխանովի թեորեմը, ապացուցելու համար անհրաժեշտ է կիրառել ընտրության աքսիոմը։ Բազմությունների տեսությամբ զբաղվող ժամանակակից մաթեմատիկոսները նաև ուսումնասիրում են աքսիոմները, որոնք համատեղելի չեն ընտրության աքսիոմի հետ, ինչպես օրինակ որոշման աքսիոմը։ Ընտրության աքսիոմից խուսափում են կոնստրուկտիվ մաթեմատիկայի որոշ ուղղություններում, չնայած կան կոնստրուկտիվ մաթեմատիկայի ուղղություններ, որտեղ ընտրության աքսիոմը կիրառվում է։

Ծանոթագրություններ

↑ Zermelo 1904.
↑ Jech 1977, էջ. 351
↑ Jech, 1977, p. 348ff; Martin-Löf 2008, p. 210. According to Mendelson 1964, էջ. 201:
The status of the Axiom of Choice has become less controversial in recent years. To most mathematicians it seems quite plausible and it has so many important applications in practically all branches of mathematics that not to accept it would seem to be a wilful hobbling of the practicing mathematician.

[1] Zermelo 1904.

[2] Jech 1977, էջ. 351

[3] Jech, 1977, p. 348ff; Martin-Löf 2008, p. 210. According to Mendelson 1964, էջ. 201:
The status of the Axiom of Choice has become less controversial in recent years. To most mathematicians it seems quite plausible and it has so many important applications in practically all branches of mathematics that not to accept it would seem to be a wilful hobbling of the practicing mathematician.

[1]

[2]

[3]