Ծնվել է հուլիսի 17(29)-ին, Պետերբուրգում։ Ավարտել է Պետերբուրգի համալսարանի պատմաբանասիրական ֆակուլտետը (1908) և Պետերբուրգի կոնսերվատորիան (1910)։ Եղել է Լենինգրադի (1925-1943) և Մոսկվայի (1943-1948) կոնսերվատորիաների պրոֆեսոր, ԽՍՀՄ ԳԱ Արվեստի պատմության ինստիտուտի երաժշտության պատմության սեկտորի վարիչ (1945-1949), ԽՍՀՄ կոմպոզիտորների միության վարչության նախագահ։ Բ. Վ. Ասաֆև (1948-1949)։ Երաժշտության տեսության ու պատմության մեջ արժեքավոր ներդրում են Ասաֆևի «Երաժշտական ձևը որպես պրոցես» (հ. 1-2, 1930-1947), «Ռուսական երսւժըշտությունը XIX դարի սկզբից» (1930) ուսումնասիրությունները, ռուս ականավոր կոմպոզիտորներին նվիրված աշխատությունները։ ժողովրդականություն են վայելում նրա «Բախչիսարայի շատրվանը» (1934) և «Կովկասի գերին» (1937) բալետները, որոնք բեմադրվել են նաև Երևանում։ Ասաֆևը մեծ հետաքրքրություն է ցուցաբերել հայ մշակույթի նկատմամբ. գրել է «Ակնարկներ Հայաստանի մասին» (1958), որտեղ հոդվածներ կան նվիրված Ալեքսանդր Սպենդիարյանին և Արամ Խաչատրյանին։ Նրա հայ աշակերտներից են կոմպոզիտոր Թ. Հովհաննիսյանը և երաժշտագետ Գ. Տիգրանովը։ Ասաֆևը արժանացել է ԽՍՀՄ պետական մրցանակների (1943, 1948)։ Մահացել է հունվարի 27-ին, Մոսկվայում։
Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից (հ․ 1, էջ 554)։