Természetes számok

Természetes számoknak nevezik

• a nemnegatív egész számokat, tehát a 0, 1, 2, 3, 4 … számtani sorozat tagjait,
• más értelmezés szerint a pozitív egész számokat, tehát az 1, 2, 3, … számtani sorozat tagjait.

A sorozat lépésköze 1, tehát a sorozat következő tagját mindig úgy kapjuk, hogy az utolsó taghoz hozzáadunk 1-et. Végtelen sok természetes szám van, mivel bármilyen nagy számhoz is hozzá tudunk adni 1-et, újabb tagot képezve a sorozatban.

A természetes számok halmazát a matematikában egy tipográfiailag kiemelt félkövér $\mathbf {N}$ vagy „blackboard bold” (kontúros) $\mathbb {N}$ (Unicode: U 2115) betűvel jelölik (a latin naturalis, azaz 'természetes' szó nyomán). A természetes számok halmazának megszámlálhatóan végtelen számú eleme van.

A természetes számok az összeadásra és a szorzásra kommutatív félgyűrűt alkotnak.

Történelmi vonatkozások

A „természetes” elnevezés eredete

Az ókorban a természetes számokat egyszerűen csak számoknak nevezték (a görögök még az 1-et sem értették közéjük); más nevezetes számosztályokat nem tartottak számon (a racionális számokat pl. számok arányainak tekintették, nem pedig önálló számosztálynak).

A "természetes" elnevezés valószínűleg csak a 19. század végén alakult ki. R. Dedekind, akitől a nevezetes számosztályok (természetes, egész, valós stb.) betűs jelöléseinek egy része származik (ezek szintén ebben az időben alakultak ki), egy 1872-es cikkében a természetes számokról még mint „úgynevezett természetes számokról” beszél (vagyis a kifejezés még nem rögzült teljesen). Grosschmid Lajos magyar matematikus egy 1911-es számelméleti cikkében (egy lábjegyzetben) Dedekindnek tulajdonította a „természetes” kifejezést („Természetes szám alatt - Dedekind nyomán - értek bármely pozitív raczionális egész számot. V. ö. : naturliche Zahl; Dirichlet-Dedekind i.m. XI. Suppl. 436. l.”).

Természetes szám-e a nulla?

A szakirodalomban eltérések találhatóak abban, hogy a 0 számot a természetes számok közé sorolják-e; másképp szólva, hogy a "természetes szám" elnevezéssel a {0; 1; 2; 3; 4, ....} vagy az egy elemmel szűkebb {1; 2; 3; 4; ...} halmazt illessük-e. Mivel ez nem szorosabb értelemben véve matematikai probléma (nem lehet matematikai tételekből kiszámítani vagy bebizonyítani, természetes szám-e a nulla), hanem pusztán egy elnevezés tartalmáról való döntés, így definíció, megállapodás kérdése, hogy mi tartozik a névvel jelölt csoporthoz. A kérdés mégsem érdektelen, mert, bár a probléma nem matematikai jellegű, eldöntésének már vannak ilyen következményei - a feladatok, állítások, tételek rendszeresen hivatkoznak a természetes számok halmazára, és a feladat megoldhatóságát, a tétel érvényességét vagy bizonyíthatóságát döntheti el a fogalom értelmezése.

Régebben a nulla nem tartozott a természetes számokhoz. A klasszikus, ösztönszerű számfogalom megformálódásakor sem vesszük a számok közé a „semmit”, a nulla Európába csak arab közvetítéssel jutott el a középkorban, a nullával nem lehet osztani. Ennek az értelmezésnek az alátámasztására következzenek idézetek:

„természetes számok: pozitív egész számok;”

„A természetes számok pozitív számok. ... A 0 nem tartozik sem a negatív, sem a pozitív számokhoz, hanem azokat szétválasztja.”

„Tegyük fel, hogy $A\subset \mathbb {N}$, és

i) $1\in \mathbb {N}$,

ii) minden $n\in \mathbb {N}$ esetében $(n 1)\subset A$.

Ekkor $A=\mathbb {N}$.

...

... vezessük be a későbbiekben is gyakran előforduló

$\mathbb {N} ^{*}:=\mathbb {N} \cup \{0\}$   jelölést.”

A 19. században, halmazelméleti levezetésekben vették először a nullát, mint üres halmazt a természetes számok közé, a definíciót „nem-negatív egész számok”-ra módosítva. Az egyértelműség keresésének szándékával született az a szokás, hogy a nem-negatív egészeket $\mathbb {N} _{0}$, a pozitív egészeket, tehát a nulla nélküli értelmezést pedig $\mathbb {N} _{1}$ vagy $\mathbb {N} ^{ }$ szimbólummal jelölik^[forrás?]; az $\mathbb {N}$ jel önmagában bizonytalanságban hagyja az olvasót. Az $\mathbb {N} ^{*}$ jelöléssel is lehet találkozni, de ennek értelmezése nem egységes.

Jellemző, hogy G. Peano, akinek a természetes számok első formális matematikai jellegű elméletének lefektetését tulajdonítják, első ilyen tárgyú cikkeiben még nem sorolta a 0-t a természetes számok közé, későbbi cikkeiben (1898-tól, Formulaire de mathématiques II. c. kiadvány, 2. fej.) azonban már igen. Peano használta és vezette be (ugyanott) a fentebb említett N₀ és N₁ jeleket is a kétféle számhalmaz megkülönböztetésére.

A természetes számok formális-axiomatikus elmélete – a Peano-aritmetika

Minden matematikai természetű témakör akkor tehető tudományos vizsgálódás tárgyává, ha rögzítjük azt az axiomatikus elméletet, melyben a témakör összes állítása formális kijelentés alakjában megfogalmazható. A természetes számok matematikájának axiomatikus elmélete, mint elsőrendű elmélet a Peano-aritmetika, jelben: PA (Giuseppe Peano olasz matematikus tiszteletére).

A PA alapfogalmai a 0 konstansjel (individuumnév), melyet nullának nevezünk, a ' egyváltozós függvényjel (egybemenetű névfunktor), melyet rákövetkezés vagy szukceszor operátornak mondunk (szemléletesen n' az n számot pontosan eggyel követő szám), a kétváltozós függvényjel, azaz az összeadás és a $\cdot$ függvényjel, ami a szorzás.

A PA axiómái a következők (az n, m, k, … jelek olyan változók, melyek természetes számokat szimbolizálnak):

(P1) n' $\neq$ 0

(azaz a nulla semminek sem rákövetkezője)

(P2) n' = m' $\Rightarrow$ n = m

(ha két szám rákövetkezője egyenlő, akkor a számok is egyenlők)

(P3) n 0 = n

(a nulla alaptulajdonsága)

(P4) n m' = (n m)'

(összeg rákövetkezője)

(P5) n $\cdot$ 0 = 0

(nullával való szorzás)

(P6) n $\cdot$ m' = (n $\cdot$ m) n

("elődisztributivitás")

(P7) ( F(0) & (F(n) $\Rightarrow$ F( n' ) ) ) $\Rightarrow$ F(n)

(a teljes indukció formulasémája, F tetszőleges a Peano-aritmetika nyelvén megfogalmazható tulajdonság (predikátum))

A 0 rákövetkezőjét, 0'-t 1-gyel jelöljük. A (P1) axiómába n helyére 0-t helyettesítve ekkor kapjuk, hogy

$0\neq 1$

A természetes számok a halmazelméletben

A Peano-aritmetika halmazelméleti modelljének nevezzük az olyan (N, 0, ', , $\cdot$) rendezett 5-öst, ahol N halmaz, 0 ∈ N, ' :N$\rightarrow$ N függvény, :N $\times$ N $\rightarrow$ N, és $\cdot$:N $\times$ N $\rightarrow$ N pedig művelet, melyekre teljesülnek a PA rendszer axiómái.

Standard modell

A természetes számok halmazelméleti modelljeként kiválóan megfelel a

$\{\emptyset ,\;\{\emptyset \},\;\{\emptyset ,\{\emptyset \}\},\;\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\},\ldots \}$

halmaz. Itt rendre

$0:=\emptyset$

$1:=\{\emptyset \}=\{0\}$

$2:=\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}=\{0,1\}$

$3:=\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\}=\{0,1,2\}$

$\ldots \,$

A természetes számok halmaza végtelen (mégpedig megszámlálhatóan végtelen), számosságát az

$\aleph _{0}$

(alef null – itt $\aleph$ a héber ábécé első betűje) szimbólummal jelöljük. Ha mint rendszámra gondolunk rá, akkor az

$\omega \,$

jelet használjuk.

A természetes számok halmaza a legkisebb számosságú végtelen halmaz.

Rendezési tulajdonságok: A természetes számok halmazának egy nagyon fontos tulajdonsága, hogy (a szokásos rendezéssel) jólrendezett, azaz akárhány (de legalább egy) természetes számot kiválasztva azok közt van egy legkisebb.

Algebrai tulajdonságok

Algebrai tulajdonságok: A természetes számok halmaza az összeadással kommutatív félcsoport, a szorzással szintúgy. Az (N, ) egyműveletes struktúrát a természetes számok additív félcsoportjának, míg az (N, ·) egyműveletes struktúrát a természetes számok multiplikatív félcsoportjának nevezzük.

A természetes számok halmaza zárt (a négy alapművelet közül) az összeadásra és a szorzásra.

Axiomatizálás

Először Richard Dedekind definiálta axiómákkal a természetes számokat 1888-ban implicit módon. Ettől függetlenül Giuseppe Peano 1889-ben egyszerűbb és formálisan precíz axiómarendszert adott meg. Ezeket a Peano-axiómákat elterjedten használják. Mivel az eredetihez másodfokú predikátumlogika szükséges, azért használják ennek gyengébb változatát, a Peano-aritmetikát. Más, hasonló axiómarendszerek a Robinson-aritmetika és a primitív rekurzív aritmetika.

A természetes számok definiálhatók a Peano-axiomákkal. Ekkor a természetes számok halmaza az, ami eleget tesz a Peano-axiómáknak. Végtelen sok halmaz van, ami megfelel ezeknek a kritériumoknak, de ezek csak a jelölésben különböznek, a viselkedésük ugyanaz. A matematikában ezt izomorfiának nevezik. Ezt az eredményt Dedekind-féle egyértelműségi tételnek nevezik. Emiatt lehetséges a természetes számokról beszélni.

Neumann János modellje

Neumann Jánosnak sikerült a természetes számokat halmazokkal ábrázolnia, azaz megalkotta a természetes számok halmazelméleti modelljét:

${\begin{alignedat}{3}0&:=&&&&\quad \ \emptyset \\1&:=0'&&=\{0\}&&=\{\emptyset \}\\2&:=1'&&=\{0,1\}&&=\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\\3&:=2'&&=\{0,1,2\}&&=\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\}\\&\vdots &&&&\\(n 1)&:=n'&&=\{0,1,\ldots ,n\}&&=n\cup \{n\}\end{alignedat}}$

A kiindulási elem a „0“ a $\emptyset$ üres halmaz. Az „1“ az az egyelemű halmaz, aminek egyetlen eleme a nulla. Ez különbözik az üres halmaztól, mivel annak nulla eleme van.

A rákövetkezési reláció azt a halmazt adja, ami tartalmazza az adott halmaz összes elemét, és a halmazt is. Más szavakkal, az adott halmaz és az azt egyelemű halmazként tartalmazó halmaz uniója. Ez utóbbi diszjunkt az adott halmaztól, így minden halmaz különbözik az előzőtől, tehát a rákövetkező reláció injektív.

Az egyes természetes számok létezését már a gyenge halmazelméleti axiómák biztosítják. A természetes számok $\mathbb {N}$ vagy $\mathbb {N} _{0}$ halmazának létezéséhez a Zermelo-Fraenkel-axiómarendszerben egy külön axiómának, a végtelenségi axióma biztosítja.

A konstrukció további folytatása, illetve további megelőző számok nélküli számok definiálása a rendszámokat hozza létre.

A valós számok részhalmaza

A természetes számok definiálhatók induktívan, a valós számok közül kiválasztva.

A valós számok egy $M$ részhalmaza induktív, ha teljesíti a következőket:

1. 0 eleme $M$-nek
2. Ha $x$ eleme az $M$ halmaznak, akkor $x 1$ is eleme az $M$ halmaznak.

Ekkor $\mathbb {N} _{0}$ az $\mathbb {R}$ induktív halmazainak metszete.

További információk

• Alice és Bob - 11. rész: Alice és Bob számelméletet épít
• Alice és Bob - 12. rész: Alice és Bob rendet tesz

Források

• Természetes számok
• Természetes számok a MathWorld-ön
• Bertrand Russell: Einführung in die mathematische Philosophie. Drei-Masken, München 1919, F. Meiner, Hamburg 2006, ISBN 3-7873-1602-7.
• Johannes Lenhard, Michael Otte (Hrsg.): Einführung in die mathematische Philosophie. F. Meiner, Hamburg 2002, ISBN 3-7873-1602-7.
• Harald Scheid: Zahlentheorie. 2. Auflage. BI-Wiss.-Verl., Mannheim 1994, ISBN 3-411-14842-X.
• Wolfgang Rautenberg. Messen und Zählen. Lemgo: Heldermann Verlag (2007) 

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Natürliche Zahl című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Kapcsolódó szócikkek

• A természetes számok összeadása
• Számok