Simson-egyenes

Tétel: A háromszög köré írt kör tetszőleges pontjának az oldalegyenesekre eső merőleges vetületei egy egyenesbe esnek, ez az egyenes a Simson-egyenes.

Bizonyítás:

$ACPB$ húrnégyszög $\longrightarrow \beta \epsilon \alpha =180^{\circ }$.

$ASPM$ húrnégyszög ($S$-nél és $M$-nél lévő szögei derékszögek) $\longrightarrow \beta \epsilon \theta =180^{\circ }\longrightarrow \theta =\alpha$.

$PIMC$ húrnégyszög, mert $MPC\measuredangle =\alpha =MIC\measuredangle$ ($PMC\bigtriangleup$ derékszögű) $\longrightarrow \beta 90^{\circ } \alpha =180^{\circ }$.

$BSPI$ húrnégyszög ($S$, $I$-nél fekvő szögek derékszögűek) $\longrightarrow BPS\measuredangle =\theta =BIS\measuredangle$; $BSP\bigtriangleup$ derékszögű: $SPK\bigtriangleup \sim BIK\bigtriangleup$ (két oldal és közbezárt szög – váltószögek) $\rightarrow$ a többi szög is azonos.

$\longrightarrow \theta =\alpha$ (váltószögek), így egy egyenesbe esnek az $S$, $I$, $M$ pontok.

Külső hivatkozások

• Bizonyítás angolul, lépésről lépésre