Pitagoraszi számhármasok

A pitagoraszi számhármasok az egész oldalhosszúságú derékszögű háromszögek oldalhosszaiból álló számhármasok. A Pitagorasz-tétel értelmében az $(x,y,z)$ pozitív egészekből álló hármas pitagoraszi számhármas, ha megoldásai az $x^{2} y^{2}=z^{2}$ diofantoszi egyenletnek.

Példák

Bővebben: Pitagoraszi számhármasok listája

A legkisebb számokból álló pitagoraszi számhármas a $(3,4,5)$ , hiszen $3^{2} 4^{2}=5^{2}$ . Ebből azonnal kapható végtelen sok pitagoraszi számhármas, ugyanis bármely $d\in \mathbb {Z} ^{ }$ esetén $(3d,4d,5d)$ is az.

Pitagoraszi számhármasok előállítása

Meg fogjuk mutatni, hogy az $x^{2} y^{2}=z^{2}$ diofantoszi egyenlet összes megoldása megkapható a következő alakban:

x=2dst,\quad y=d(s^{2}-t^{2}),\quad z=d(s^{2} t^{2})

vagy ebből x és y felcserélésével, ahol d,s,t pozitív egész számok, s>t, s és t különböző paritásúak és relatív prímek.

Például, ha d=1, s=2, t=1, akkor a fenti példából ismert x=4, y=3, z=5 hármast kapjuk.

Bizonyítás

Az ilyen alakú hármasok valóban mindig kielégítik az egyenletet:

\left(2dst\right)^{2} d^{2}(s^{2}-t^{2})^{2}=4d^{2}s^{2}t^{2} d^{2}(s^{4}-2s^{2}t^{2} t^{4})=d^{2}s^{4} 2d^{2}s^{2}t^{2} d^{2}t^{4}=d^{2}(s^{2} t^{2})^{2}.

A másik irányhoz tegyük fel, hogy az x, y, z számokra $x^{2} y^{2}=z^{2}$ teljesül. Leosztva a számok d legnagyobb közös osztójával, feltehetjük, hogy legnagyobb közös osztójuk 1. De ekkor x, y és z közül bármely kettő is relatív prím. Speciálisan nem lehet x és y egyszerre páros. De nem lehetnek egyszerre páratlanok sem, mert amúgy $x^{2} y^{2}$ 2 maradékot adna 4-gyel osztva, ezért nem lehet négyzetszám.

Tehát x és y közül pontosan az egyik páros, a másik páratlan, legyen mondjuk x páros és y páratlan. Az egyenlet szerint z is páratlan. Ekkor:

x^{2}=z^{2}-y^{2}=(z y)(z-y).

A jobb oldal mindkét tényezője páros: $z y=2a$ , $z-y=2b$ (a,b pozitív egészek). Itt a és b relatív prímek, hiszen közös osztójuk osztaná $y=a-b,z=a b$ -t is. Mivel $x^{2}=4ab$ , azaz ab négyzetszám, a és b maguk is négyzetszámok: $a=s^{2}$ , $b=t^{2}$ (s,t pozitív egészek és relatív prímek). Ezzel meg is van a kívánt előállítás: $x^{2}=4s^{2}t^{2}$ miatt $x=2st$ , $y=a-b=s^{2}-t^{2}$ , $z=a b=s^{2} t^{2}$ . Mivel y pozitív és páratlan, ezért s>t is teljesül, valamint s és t különböző paritású.