Lagrange-függvény

Egy dinamikai rendszer Lagrange-függvénye (L) olyan függvény, amely összegzi a rendszer dinamikáját. Joseph Louis Lagrange után kapta a nevét. A függvénynek a bevezetése William Rowan Hamilton ír matematikus nevéhez fűződik. Klasszikus mechanikában a Lagrange-függvény úgy van meghatározva, mint a rendszer teljes mozgási energiájának $T$ és a rendszer teljes potenciális energiájának $V$ a különbsége.

Matematikailag:

$L=T-V.\quad$

Ha ismerjük egy rendszer Lagrange-függvényét, akkor a mozgásegyenletek megkaphatók, ha behelyettesítjük a Lagrange-függvényt az Euler–Lagrange-egyenletbe.

A Lagrange-formalizmus

Fontosság

A Lagrange-formalizmus nemcsak a széles alkalmazhatósága miatt fontos, hanem azért is, mert általa jobban megismerhetjük a fizikát. Annak ellenére, hogy a Lagrange-függvény csak a klasszikus mechanikát hivatott leírni, a legkisebb hatás elvével, amit arra használunk, hogy felírjuk a Lagrange-egyenletet, alkalmazhatóvá vált a kvantummechanikában is.

Más módszerekkel szembeni előnyök

• Ebben a formalizmusban nem vagyunk egyik koordináta-rendszerhez sem láncolva, hanem bármelyik nekünk előnyös $\varphi _{i}(s)$ változót használhatjuk a rendszer leírására, amelyeket általános koordinátáknak nevezzük, s ezek a rendszernek bármilyen független változói lehetnek. Például a mágneses tér erőssége egy pontban, egy pont helyzete a térben, stb.

• Ha a Lagrange-függvény invariáns bizonyos szimmetriára, akkor a keletkező mozgásegyenletek is invariánsak lesznek az illető szimmetriára.

• A Lagrange-függvényből származtatott egyenletek egyértelműek és nem önellentmondóak.

"Ciklikus koordináták" és megmaradási tételek

Az egyik fontos tulajdonsága a Lagrange-függvénynek az, hogy a megmaradási tételek könnyen kiolvashatók belőle. Például ha a Lagrange-függvény ${\mathcal {L}}$ csak az egyik általános koordináta idő szerinti deriválttól függ ${\dot {q}}_{i}$ de nem függ magától az általános koordinátától, akkor az általánosított impulzus,

$p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$,

egy megmaradó mennyiség. Ez egy speciális esete a Noether-tételnek, s az ilyen koordinátákat ciklikusaknak nevezzük.

Például az alábbi általánosított impulzus,

$p_{2}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{2}}}$,

megmaradása azonnal belátható, ha a rendszer Lagrange-függvénye a következő alakú:

${\mathcal {L}}(q_{1},q_{3},q_{4},\dots ;{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},{\dot {q}}_{4},\dots ;t)$.

Amennyiben a Lagrange-függvény nem függ expliciten az időtől, akkor a rendszer energiája lesz egy megmaradó mennyiség.

Euler–Lagrange-egyenlet

A mechanikai rendszerek mozgásegyenleteit legáltalánosabban a legkisebb hatás elvével adhatjuk meg. Vagyis, ha egy adott mechanikai rendszert egy adott

${\mathcal {L}}(q_{1},q_{2},q_{3},q_{4},\dots ;{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},{\dot {q}}_{4},\dots ;t)\,.$

függvény jellemez, a rövidség kedvéért jelöljük csak ${\mathcal {L}}(q,{\dot {q}},t)$-nek, s a rendszer helyzetét a $t=t_{1}$ és $t=t_{2}$ időpillanatokban a $q^{(1)}$ és $q^{(2)}$ koordináták jellemzik, akkor a két helyzet között úgy fog mozogni a rendszer, hogy az

${\mathcal {S}}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}(q,{\dot {q}},t)dt$

minimális legyen, ahol az ${\mathcal {S}}$ integrált hatásfüggvénynek nevezzük.

Legyen $q=q(t)$ az a függvény, amelyre a hatásfüggvény (a fenti integrál) minimális. Ekkor ha $q(t)$ függvényt helyettesítjük bármely $q(t) \delta q(t)$ függvénnyel, ahol a $\delta q(t)$ egy tetszőleges függvény, amely $t_{1}$ és $t_{2}$ között kis értékeket vesz fel (matematikailag a $q(t)$ variációjának nevezzük), az az ${\mathcal {S}}$ növekedéséhez vezet. Minden $q(t) \delta q(t)$ függvénynek a $t=t_{1}$ és $t=t_{2}$ időpillanatokban ugyanazt a $q^{(1)}$ és $q^{(2)}$ értéket kell felvennie, s ez csak akkor lehetséges, ha

${\mathcal {\delta }}q(t_{1})=\delta q(t_{2})=0$

Ha a hatásfüggvényben a $q$-t helyettesítjük $q \delta q$-val, akkor az ${\mathcal {S}}$ változását a

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}(q \delta q,{\dot {q}} \delta {\dot {q}},t)dt-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}(q,{\dot {q}},t)dt$

különbség fogja megadni. Ha ezt sorbafejtjük és csak az elsőrendű tagokat vesszük figyelembe (ezt az integrál első variációjának nevezzük), akkor az ${\mathcal {S}}$ extrémumának szükséges feltétele az, hogy ezeknek a tagoknak az összege 0 legyen, s akkor a legkisebb hatás elvét a következő alakban írhatjuk fel:

$\delta {\mathcal {S}}=\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}(q,{\dot {q}},t)dt=0$

Ha végrehajtjuk a variációt, akkor a következő alakhoz jutunk:

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q}}\delta q {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}}}\delta {\dot {q}})dt=0$

Behelyettesítve, hogy ${\mathcal {\delta }}{\dot {q}}={\frac {d}{dt}}\delta q$, valamint a második tagot parciálisan integrálva, és figyelembe véve, hogy ${\mathcal {\delta }}q(t_{1})=\delta q(t_{2})=0$, a következő kifejezést kapjuk:

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}}})\delta qdt=0$,

ami csak akkor lehetséges, ha az integrandus nulla, tetszőleges $\delta q$ értékek mellett, s ez csak akkor lehetséges, ha

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}}}=0$.

A fenti egyenletet nevezzük az Euler–Lagrange-egyenletnek, s ha ismerjük egy adott rendszer Lagrange-függvényét, akkor behelyettesítve a fenti egyenletbe, s elvégezve a deriválásokat megkapjuk az adott rendszer mozgásegyenleteit.

Példa klasszikus mechanikából

Derékszögű koordináta-rendszerben

Ha háromdimenziós térben vagyunk, akkor egy anyagi pont Lagrange-függvénye a következő:

$L({\vec {x}},{\dot {\vec {x}}})\ =\ {\frac {1}{2}}\ m\ {\dot {\vec {x}}}^{2}\ -\ V({\vec {x}})$.

Az Euler–Lagrange-egyenlet a következő alakú lesz:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\ \left(\,{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\,\right)\ -\ {\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}\ =\ 0$

ahol $i=1,2,3$.

A deriválások elvégzése után a következőket kapjuk:

${\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}\ =\ -\ {\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}$

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\ =\ {\frac {\partial ~}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\,\left(\,{\frac {1}{2}}\ m\ {\dot {\vec {x}}}^{2}\,\right)\ =\ {\frac {1}{2}}\ m\ {\frac {\partial ~}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\,\left(\,{\dot {x}}_{i}\,{\dot {x}}_{i}\,\right)=\ m\,{\dot {x}}_{i}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\ \left(\,{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\,\right)\ =\ m\,{\ddot {x}}_{i}$

Polárkoordináta-rendszerben

Ha polárkoordináta-rendszeben dolgozunk, akkor az anyagi pont Lagrange-függvénye a következő lesz:

$L={\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2} r^{2}{\dot {\theta }}^{2} r^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})-V(r).$

S az Euler–Lagrange-egyenletek az alábbiak lesznek:

$m{\ddot {r}}-mr({\dot {\theta }}^{2} \sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2}) V'=0,$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(mr^{2}{\dot {\theta }})-mr^{2}\sin \theta \cos \theta {\dot {\varphi }}^{2}=0,$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }})=0.$

További információk

• L. D. Landau - E. M. Lifsic: Mechanika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1984
• Christoph Schiller (2005), Global descriptions of motion: the simplicity of complexity, Motion Mountain
• David Tong Classical Dynamics (Cambridge lecture notes)