Galilei-transzformáció

A Galilei-transzformáció kapcsolatot létesít két inerciarendszer között, melyek X tengelyei egybeesnek, Y és Z tengelyeik párhuzamosak és egymáshoz képest egyenes vonalú egyenletes mozgást végeznek. A kölcsönös mozgás az X tengely mentén v sebességgel történik. A transzformációval kiszámíthatjuk egy K rendszerben lévő esemény idejét és helyét egy K’ rendszerben is. Tehát ha adva van az x, y, z, t, akkor a Galilei-transzformáció segítségével meghatározhatjuk x’, y’, z’, t’ értékeit is.

Akkor szoktuk használni, ha a fény terjedésének sebességét nem vesszük figyelembe. E transzformációt leginkább a klasszikus mechanikában látni, ahol az idő és a hosszúságok abszolút jellegeit vesszük figyelembe.

A Galilei-transzformációt a Lorentz-transzformációból úgy vezethetjük le, hogy a c -t (azaz a fény sebességét) végtelennek vesszük.

A Galilei-transzformáció egyenletei

A K és a K' koordináta-rendszer. A K' a K x-tengelye mentén v sebességgel mozog. A koordináta-rendszerek a t=t'=0 időpontban egybeestek: közös volt az origójuk. Későbbi t időpontban az O és az O' origók vt távolságra vannak egymástól akkor, amikor a P esemény bekövetkezett.

A klasszikus szemlélet szerint feltételezzük, hogy a térbeli távolságok és az időintervallumok mérése minden inerciarendszerben azonos eredményre vezet. Valójában ezen a feltevésen alapul a newtoni mechanika. Ez a "józan ésszel" összhangban van.

A newtoni mechanika minden inerciarendszerben kielégítő mértékben érvényes (ezt bárki, aki utazott már simán mozgó repülőgépen, tanúsíthatja is). Másképpen fogalmazva, nincs mechanikai hatás, amellyel a K-ban, ill. K’-ben lévő megfigyelők el tudnák dönteni, hogy melyik vonatkoztatási rendszer van “igazán nyugalomban” és melyik “mozog igazán”. Ezt a tényt fogalmazza meg Galilei relativitási elve: Newton mechanikájának törvényei minden inerciarendszerben ugyanolyanok.

Ha ezek a feltevések igazak, akkor hogyan lehet egy eseménynek a K rendszerben és a K' rendszerben mért adatai között kapcsolatot teremteni? Egy P eseményre, egyszerű geometriai megfontolások alapján meg lehet határozni a két adategyüttes közti kapcsolatot. Ezeket a kapcsolatokat Galilei-transzformációnak nevezzük.

$x=x' Vt'$ $x'=x-Vt\,$

$y=y'\,$ $y'=y\,$

$z=z'$ $z'=z\,$

$t=t'\,$ $t'=t\,$

A transzformációs képleteknek körülbelül olyan szerepük van, mint egy idegen nyelv szótárának. A transzformációk fordítják le az (P) eseménynek az egyik rendszerben (K') megmért adatait (x',y',z',t') ugyanazon eseménynek a másik rendszerben (K) megmért (x,y,z,t) adataira.

Könnyen észrevehetjük, hogy a bal oldali képletsorban vesszős mennyiségek csak az egyenlőségjel jobb oldalán, a jobb oldali képletsorban pedig csak az egyenlőségjel bal oldalán szerepelnek. Ezek a transzformációs képletek sokat tartalmaznak az időről és térről alkotott alapfeltevéseinkből. Példának okáért az a tény, hogy a t=t' egyenlőséget felírjuk, azt vonja maga után, hogy minden inerciarendszerben univerzális időskála van érvényben. Hasonlóan a képletekből arra is következtethetünk, hogy a tér, amelyben az események végbemennek, ugyanaz mindkét vonatkoztatási rendszer számára. Az x-koordináták képletében megjelenő eltérés egyértelműen mutatja, hogy ennek eredete a vonatkoztatási rendszerek viszonylagos mozgásában van, tehát nem következik belőle az, hogy maga a tér lenne különböző a két inerciarendszer számára.

Ezek a klasszikus elgondolások a térről és az időről szorosan összefüggenek és olyannyira a tapasztalatokon alapulnak, hogy lehetetlennek tűnt azt képzelni, hogy nem lennének helyesek. A filozófusok két évszázadon át vita nélkül elfogadták őket, éppen ezért olyan figyelemre méltó az a forradalmi változás, amit Einstein okozott, amikor relativitáselméletében megmutatta, hogy a klasszikus elgondolások nem helyesek.

Példa

A K vonatkoztatási rendszerben az a két esemény, amely meghatározza a mozgó rúd két végpontjának a helyzetét (x₁-ben, illetve x₂-ben), egyidejűleg bekővetkező események.

A transzformációs képletek használatának bemutatásához vizsgáljunk egy rudat a K' rendszerben és határozzuk meg a hosszát a K' és a K rendszerben is. A rúd az x' tengely mentén fekszik, ahogy ez az ábrán is látszik. A rúd hosszát L'=x₂'-x₁' alakban fejezzük ki. Lévén, hogy a rúd végpontjainak helye időben nem változik, ezeket a koordináta-különbségeket úgy mérjük meg, hogy a rúd mellé mérővonalzót helyezünk el és két pontszerű eseményként megállapítjuk a végpontok és a vonalzó osztásrészeinek egybeesését:

"1" esemény: (x₁’, y₁’, z₁’, t₁’)

"2" esemény: (x₂’, y₂’, z₂’, t₂’)

A rúd L' hossza csak az x₂’ és x₁’ adatoktól függ. Figyelemre méltó, hogy a t₂’ és a t₁’ időpontok nem szerepelnek a kifejezésben.

A K rendszerben azonban a rúd mozog. Vizsgáljuk meg az x₂'-x₁' mennyiséget a K-ban mért adatok segítségével kifelyezve. A fenti képleteket alkalmazva adódik:

x₂'-x₁'=(x₂-Vt₂)-(x₁-Vt₁)

vagy az egyenlőség rendezésével

x₂'-x₁'=(x₂-x₁)-V(t₂-t₁)

Itt az (x₂-x₁) mennyiség a rúdnak a K rendszerben mért hossza. Nyilvánvalóan nincs értelme a rúd végpontjait különböző időpillanatokban vizsgálni, ezért elfogadjuk, hogy t₂=t₁, amiből adódik, hogy:

x₂'-x₁'=x₂-x₁

L'=L

Mozgó test végpontjait egyidejűleg kell összevetni a mérőléccel, ezért a K-ban mért hosszúságok megfelelnek a K'-ben mért hosszúságoknak. A Galilei-féle relativitás szerint ezek a hosszmérések ugyanazt az eredményt szolgáltatják, viszont Einstein rávilágított, hogy ez a következtetés helytelen.

Források

• Albert Einstein – A speciális és általános relativitás elmélete, Gondolat kiadó, 1965
• Alvin Hudson, Rex Nelson – Útban a modern fizikához, LSI Oktatóközpont, 1994