Fano-sík

A Fano-sík az egyik legegyszerűbb véges geometriai objektum, mindössze hét pontból és hét egyenesből áll, másodrendű véges projektív sík. Jelölése PG(2,2), ahol a PG a projektív geometria rövidítése, az első kettes a geometriai dimenzió, a második pedig a geometria rendje.

Homogén koordináták

A Fano-sík a legkisebb projektív sík. A lineáris algebrában a kételemű véges testhez tartozó projektív sík formájában lehet megalkotni.

A projektív sík homogén koordinátákkal való létrehozása szerint a Fano-sík pontjait hét, nullától különböző számhármassal lehet megadni: (001), (010), (011), (100), (101), (110), (111). Bármely egyenesen, amelyik a $p$ és $q$ pontokat tartalmazza, a harmadik pontot a kettejük kettes számrendszerbeli összegeként kaphatjuk meg. Másképpen szólva a Fano-sík a 2 elemű véges test feletti véges háromdimenziós vektortér nem nulla elemeiből áll. Ez alapján a Fano-sík egyfajta Desargues-i sík, bár olyan kicsi, hogy kizárólag degenerált konfigurációi vannak.^[1]

A Fano-sík egyenesei megadhatók tehát homogén koordinátákkal, méghozzá nemzéró bináris számokkal. Ennek révén megállapítható, hogy egy pont mikor van rajta egy egyenesen, nevezetesen akkor, ha a pont és az egyenes páros számú közös nemnulla elemmel rendelkezik. Például az (111) pont rajta van az (101) egyenesen, mivel két pozícióban (az elsőben és a harmadikban) mindkettő esetén 1-es jegyet találunk. A sík alatt fekvő geometria szempontjából ezt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a pont rajta van az egyenesen, ha a kettejüket reprezentáló vektorok belső szorzata 0.

A sík egyenesei három osztályba sorolhatóak:

Azon egyenesek, amik azokat a pontokat tartalmazzák, amikben ugyanott van 0 számjegy. Például az (100) egyenes a (001), (010) és (011) pontokból áll. Hasonlóan kapjuk meg a (010) és a (001) egyeneseket is.
Három egyenes esetén a pontok két-két jegye megegyezik. Az (110) egyenest például a (001), (110) és (111) pontok alkotják.
A hetedik egyenes azokat a pontokat tartalmazza, amiknek pontosan két nemzéró jegye van.

Szimmetriák

A Fano-sík hét pontjának azon permutációit, amelyek kollineáris pontokat kollineáris pontokba visznek át, azaz megőrzik a kollinearitást, kollineációnak, illetve a sík automorfizmusainak vagy szimmetriáinak nevezzük. A teljes kollineációcsoport (vagy automorfizmus-csoport, vagy szimmetriacsoport) a PGL(3,2) projektív lineáris csoport, ami jelen esetben megegyezik a PSL(2,7) speciális projektív lineáris csoporttal, és egyben a GL(3,2) lineáris csoporttal is, ami, mivel csak egyetlen zéruseleme van egyenlő PGL(3,2)-vel. A csoport hat konjugált osztályt tartalmaz, minden ciklikus struktúra egyet-egyet magában definiál, az utolsó kettő pedig a 7-ciklusból származtatható:

Az azonosság permutáció egy egyelemű osztályt határoz meg
Két 2-ciklus 21 permutációt definiál
42 permutáció származtatható le egy 4-ciklusból és egy 2-cikluból
Két 3-ciklus hoz létre 56 permutációt
$A\mapsto B$ , $B\mapsto C$ , $C\mapsto D$ és D az A és B egyenesén van.
$A\mapsto B$ , $B\mapsto C$ , $C\mapsto D$ és D az A és C egyenesén van.

A teljes permutációcsoport tehát összesen 168 elemet tartalmaz, ezeket a hárombites Walsh-permutációk között találjuk.^[2]

A Pólya-féle leszámlálási tétel szerint a Fano-síkot

{\frac {1}{168}}\cdot \left(n^{7} 21n^{5} 98n^{3} 48n\right)

nem egyenértékű módon lehet n színnel kiszínezni.

Konfiguráció

A Fano-sík a pontok és egyenesek specifikus elrendezéseit tartalmazza, ezek száma éppen 168, a szimmetrikus csoportjának a rendje. Ha az egyes konfigurációk számát megszorozzuk az őket változatlanul hagyó szimmetriák számával, akkor is ezt a rendet kapjuk. Lássuk hát eme nevezetes elrendezéseket!

A síkon 7 pont van, valamint ezeket összesen 24 szimmetrikus transzformáció hagyja helyben.
A síkon 7 egyenes és 24 ezeket önmagukba képező szimmetria van.
A sík pontjai közül 7 módon választhatunk ki négyszöget, amelyek nincs három kollineáris pontja. Ezek a négyszögek a hét vonal komplemensei, és eszerint 24 transzformáció hagyja őket változatlanul. A vonal a négyszög átlója.
21 rendezetlen pontpár van, amik kölcsönösen egymásnak szimmetrikus párjai. Ezeket a párokat 8 szimmetria írja le.
21 darab, egy pontból és egy egyenesből álló zászló van, amiket összesen 8 szimmetria határoz meg. Mindegyik zászló azonos az azonos vonalon lévő rendezetlen pontpárral.
28 háromszög van a síkon, ami egy az egyben azonos a negyedrendű bitangensekkel.^[3] Mindegyik háromszöget hat szimmetria rögzít, egy-egy a pontjaik minden permutációjához.
28 módon lehet kiválasztani egy pontot és egy rá nem illeszkedő egyenest. Ezek invariábilisek a Fano-sík hat permutációjával szemben. A pont és egyenes páron kívüli pontok egy háromszöget alkotnak.
28 olyan hatszög van, amiben három egymást követő pont nincs egy egyenesen, és ezeket hat szimmetria rögzíti.
42 rendezett pár van a síkon, amiket 4 szimmetria rögzít. Ezek a párok egymás szimmetrikus párjai.
42 olyan négyszög van, aminek csúcsai ciklikusan vannak rendezve. Ezeket négy szimmetria határozza meg, és két ciklikus sorrend van.
84 háromszöget lehet meghatározni egy-egy adott ponttal, ezeket két szimmetria erejéig rögzíthetjük.
84 olyan ötszög adható meg, aminek nincs három egymást követő kollineáris pontja. Ezek két szimmetria szempontjából fix helyzetűek.
168 rendezett ponthármas van, amik háromszöget alkotnak. Ezek mindössze az identitással szemben invariánsak, a rendezettség miatt.

Csoportelméleti konstrukció

A Fano-sík megfeleltethető a $\left(\mathbf {Z} _{2}\right)^{3}$ csoport nem zérus elemeinek. A sík egyenesei a csoport negyedrendű részcsoportjainak feleltethetőek meg, azaz a $\left(\mathbf {Z} _{2}\right)^{2}$ csoportnak. E csoport szerkezete a sík konstrukciójánál került felírásra. A sík és a csoport automorfizmus-csoportja megegyezik, és 168 eleme van.

Blokkrendszer

A Fano-sík megfelel egy szimmetrikus blokkrendszernek, aminek szerkezete 2-(7,3,1). A rendszer pontjai a sík pontjainak felelnek meg, a blokkok pedig az egyeneseknek.

Matroidelmélet

A Fano-sík a matroidok struktúraelméletének egyik fontos eleme. A Fano-sík mint minor matroid kizárásával olyan lényeges osztályok jellemzése válik lehetővé, mint a reguláris, a grafikus és a kografikus matroidok.

Ha egy egyenest három kétpontos szakaszra bontunk, akkor a "nem-Fano konfigurációt" kapjuk, amit szintén be tudunk ágyazni a síkba. Ez szintén egy fontos kizárandó példa több tétel esetén is.

Steiner-rendszer

A Fano-sík, mint blokkszerkezet egy Steiner-féle hármas rendszer. Ennek megfelelően egy félcsoportra képezhető le, valamint megfelel az oktoniók egység-félcsoportjának, ha a szorzatok előjelétől eltekintünk.^[4]

Három dimenzióban

A Fano-sík kiterjeszthető a háromdimenziós térbe, így egy projektív teret hozva létre, amit PG(3,2)-ként jelölhetünk. Ebben 15 pont van, amik összesen 35 egyenest határoznak meg, és ezekre 15 sík fektethető, így a legkisebb projektív tér. Ennek az alábbi tulajdonságai vannak:

Minden pont 7 egyenesen és 7 síkon van rajta.
Minden egyenest három sík tartalmaz és mindegyiknek három pontja van.
Minden sík hét pontot és 7 egyenest tartalmaz.
Minden sík izomorf a Fano-síkkal.
Bármely két különböző síknak van közös egyenese.
Egy egyenesnek és egy azt nem tartalmazó síknak pontosan egy közös pontja van.

Lásd még

Megjegyzések

↑ Nem-degenerált konfigurációhoz ugyanis legalább tíz pont és tíz egyenes szükséges.
↑ https://en.wikiversity.org/wiki/3-bit_Walsh_permutation;_table
↑ Manivel, L. (2006), "Configurations of lines and models of Lie algebras", Journal of Algebra 304 (1): 457–486, ISSN 0021-8693, DOI 10.1016/j.jalgebra.2006.04.029
↑ (Baez 2002)

Források

Baez, John (2002), "The Octonions", Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2): 145–205, doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X, <http://www.ams.org/bull/2002-39-02/S0273-0979-01-00934-X/home.html> (Online HTML version)
van Lint, J. H. & Wilson, R. M. (1992), A Course in Combinatorics, Cambridge University Press, p. 197
Manivel, L. (2006), "Configurations of lines and models of Lie algebras", Journal of Algebra 304 (1): 457–486, ISSN 0021-8693, DOI 10.1016/j.jalgebra.2006.04.029
Weisstein, Eric W.: Fano Plane (angol nyelven). Wolfram MathWorld
Finite plane and Fano plane a PlanetMath oldalain
Burkard Polster (1998) A Geometrical Picture Book, Chapter 1: "Introduction via the Fano Plane", also pp 21, 23, 27, 29, 71, 73, 77, 112, 115, 116, 132, 174, Springer ISBN 0-387-98437-2.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Fano plane című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

[1] Nem-degenerált konfigurációhoz ugyanis legalább tíz pont és tíz egyenes szükséges.

[2] ttps://en.wikiversity.org/wiki/3-bit_Walsh_permutation;_table

[3] Manivel, L. (2006), "Configurations of lines and models of Lie algebras", Journal of Algebra 304 (1): 457–486, ISSN 0021-8693, DOI 10.1016/j.jalgebra.2006.04.029

[4] (Baez 2002)

[1]

[2]

[3]

[4]