Euklideszi reláció

Egy kétváltozós relációt akkor nevezünk euklideszi relációnak,^[1] ha a relációk mindig egyfajta háromszöget alkotnak; ha egy elem relációban áll két másikkal, akkor azok is (valamilyen irányú) relációban kell álljanak egymással.

A szaggatott nyíl behúzása szükséges az euklidesziség eléréséhez

Definíció

Az $A$ halmazon értelmezett $R$ reláció euklideszi, ha bármely $a,b,c\in A$ esetén valahányszor $aRb$ és $aRc$ egyszerre teljesül, mindannyiszor $bRc$ is teljesül.

Általában véve az elsőrendű logika nyelvén:

R

euklideszi

\iff \forall a\forall b\forall c((Rab\land Rac)\rightarrow Rbc)

„	Amik ugyanazzal egyenlők, egymással is egyenlők.	”
– Eukleidész Elemek, i. m. 47. o.

Példák

az egyenesek párhuzamossága (mert ha az $e$ egyenes párhuzamos az $f$ egyenessel, az $e$ egyenes pedig párhuzamos a $g$ egyenessel, akkor az $f$ egyenes szükségszerűen párhuzamos a $g$ egyenessel is),
családban a (nem fél)testvér-reláció (mert a párhuzamossághoz hasonlóan, bár senki nem testvére magának, az ember testvérei testvérei egymásnak.)

Nem ilyen

az emberek között a „fölmenő rokona” reláció (mert pl. egy személy fölmenő rokona az unokájának és a lányának is, azonban az unokája nem felmenője a lányának).
a halmazok között a tartalmazási reláció,
a pozitív egész számok között az oszthatóság (mert pl. $2$ osztja $4$ -et és $6$ -ot is, de $4$ nem osztja $6$ -ot),
az emberek között az „ismerik egymást” reláció (mert az ember nem minden ismerőse ismeri egymást).

További példák euklideszi relációkra

minden ekvivalenciareláció, úgymint:
- halmazokon az ekvivalencia, azaz számosságazonosság
- egész számokon az azonos paritás, vagy általánosabban az azonos maradékosztályba tartozás (mivel ezek ekvivalenciarelációk),
- egy sík vagy a tér egyenesein a párhuzamosság
- a tér síkjain a párhuzamosság

Viszonya más relációkhoz

Egy reláció euklideszi tulajdonsága és tranzitivitása bár hasonlónak tűnik, önmagában egyik sem következik a másikból.
Egy szimmetrikus reláció már pontosan akkor euklideszi, ha tranzitív.
Egy reflexív reláció ha euklideszi is, akkor tranzitív és szimmetrikus is, azaz ekvivalenciareláció.

Jegyzetek

↑ A matematikus nevének szabatos átírása Eukleidész volna, tehát a szerkezet eukleidészi reláció, de ebben a kifejezésben hagyományosan rögzült euklideszi alakban (lásd például Püthagorasz, de Pitagorasz-tétel stb.).

Források

Eukleidész. Elemek, Első könyv 1. axióma. Gondolat (1983)

[1] A matematikus nevének szabatos átírása Eukleidész volna, tehát a szerkezet eukleidészi reláció, de ebben a kifejezésben hagyományosan rögzült euklideszi alakban (lásd például Püthagorasz, de Pitagorasz-tétel stb.).

[1]