Vektorsko polje oblika f(x ,y )=(−y , x ) U matematici i fizici vektorsko polje je polje koje svakoj točki lokalno Euklidskog prostora pridružuje vektorsku veličinu. U fizici , primjeri vektorskih polja su polje brzina čestica u fluidu ili električno i magnetsko polje. Za razliku od njih, skalarna polja svakoj točki prostora pridružuju jedan skalar (broj), poput temperature ili lokalne gustoće .
Neki od diferencijalnih operatora primjenjivih na vektorsko polje su divergencija i rotacija .
Neka
X
0
{\displaystyle X_{0}}
radijvektora u koordinatnom sustavu
(
O
,
x
1
,
x
2
,
x
3
,
.
.
.
,
x
k
)
;
k
=
dim
D
{\displaystyle \left(O,x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{k}\right);k=\dim D}
X
0
=
{
O
M
→
|
M
=
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
.
.
.
,
x
k
)
∈
R
n
}
{\displaystyle X_{0}=\{{\overrightarrow {OM}}|M=(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{k})\in \mathbb {R} ^{n}\}}
Radijvektor je reprezentant (predstavnik) vektora kao klase usmjerenih dužina koji početak ima u ishodištu koordinatnog sustava. Neka je
D
⊆
R
n
{\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
Tada je svaka funkcija
F
:
D
↦
X
0
{\displaystyle \mathbf {F} :D\mapsto X_{0}}
vektorska funkcija skalarne varijablevektorska funkcija ili vektorsko polje . Drugim riječima, vektorsko polje je funkcija koja svakoj točki prostora pridružuje vektor .
Potencijalno vektorsko polje Solenoidno vektorsko polje Laplaceovo vektorsko polje Opće vektorsko polje Neka je
S
⊆
R
n
{\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
V
x
:
S
↦
R
n
{\displaystyle V_{x}:S\mapsto \mathbb {R} ^{n}}
Y
{\displaystyle Y}
S , tada je izraz za to vektorsko polje u sustavu
Y
{\displaystyle Y}
V
Y
:=
∂
y
∂
x
V
x
.
{\displaystyle V_{Y}:={\frac {\partial y}{\partial x}}V_{x}.}
Za V se kaže da je Ck k puta diferencijabilno.
Jako je važno razlikovati vektorsko i skalarno polje! Što vrijedi za vektore i skalare , isto vrijedi i ovdje: glavna i bitna razlika je u koordinatnim transformacijama : skalar sam po sebi jest koordinata, dok je vektor opisan koordinatama, ali sam po sebi nije kolekcija koordinata. Tako i skalarno polje svakoj točki prostora pridružuje koordinate , a vektorsko vektore.
Vektorska polja se najviše primjenjuju u fizici , npr.
Brzinu vjetra možemo zamisliti kao vektorsko polje nad
R
4
{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}
(
x
,
y
,
z
,
t
)
{\displaystyle \left(x,y,z,t\right)}
v
→
(
x
,
y
,
z
,
t
)
=
v
x
(
x
,
y
,
z
,
t
)
ı
→
v
y
(
x
,
y
,
z
,
t
)
ȷ
→
v
z
(
x
,
y
,
z
,
t
)
k
→
{\displaystyle {\vec {v}}(x,y,z,t)=v_{x}(x,y,z,t)\,{\vec {\imath }} v_{y}(x,y,z,t)\,{\vec {\jmath }} v_{z}(x,y,z,t)\,{\vec {k}}}
Brzina protjecanja fluida kroz cijev,
Opis magnetskog djelovanja,
Opis električnog djelovanja,
Gravitacija .Prema divergenciji i rotaciji , vektorska polja dijelimo na:
Potencijalno ili bezvrtložno:
rot
W
→
=
0
(svuda)
{\displaystyle {\mbox{rot}}\,{\overrightarrow {W}}=0{\mbox{ (svuda)}}}
div
W
→
≠
0
(barem u nekim točkama)
{\displaystyle {\mbox{div}}\,{\overrightarrow {W}}\neq 0{\mbox{ (barem u nekim točkama)}}}
Solenoidno ili bezizvorno:
rot
W
→
≠
0
(barem u nekim točkama)
{\displaystyle {\mbox{rot}}\,{\overrightarrow {W}}\neq 0{\mbox{ (barem u nekim točkama)}}}
div
W
→
=
0
(svuda)
{\displaystyle {\mbox{div}}\,{\overrightarrow {W}}=0{\mbox{ (svuda)}}}
rot
W
→
=
0
(svuda)
{\displaystyle {\mbox{rot}}\,{\overrightarrow {W}}=0{\mbox{ (svuda)}}}
div
W
→
=
0
(svuda)
{\displaystyle {\mbox{div}}\,{\overrightarrow {W}}=0{\mbox{ (svuda)}}}
Polje općeg oblika ili složeno polje:
rot
W
→
≠
0
(barem u nekim točkama)
{\displaystyle {\mbox{rot}}\,{\overrightarrow {W}}\neq 0{\mbox{ (barem u nekim točkama)}}}
div
W
→
≠
0
(barem u nekim točkama)
{\displaystyle {\mbox{div}}\,{\overrightarrow {W}}\neq 0{\mbox{ (barem u nekim točkama)}}}
