Zmajolika krivulja

Zmajolika krivulja (en. Dragon curve) je beskonačno gusta krivulja koja je dobila ime po mitološkom biću kojemu sliči.^[1] Ponekad se to ime koristi za sve fraktalne krivulje koje se mogu konstruirati rekurzivnim metodama kao što je Lindenmayerov sustav.

Heighwayova zmajolika krivulja

iteracije 1-5 i 9

Zmajolikom krivuljom (u užem smislu) obično se naziva ova krivulja. Prvi su je istraživali NASA-ini fizičari John Heighway, Bruce Banks i William Harter. Opisao ju je Martin Gardner u kolumni Matematičke igre (Mathematical Games) u časopisu Scientific American 1967. godine. Bila je nacrtana na naslovnim stranicama dijelova romana Michaela Crichtona Jurski park.

Konstrukcija

Najčešće se crta pomoću L-sustava:

kut: 90
početak: FX
pravila:
- X $\mapsto$ X Y F
- Y $\mapsto$ - F X - Y
značenje:
- F = "crtaj naprijed"
- - = "zakreni u smjeru kazaljke na satu za 90"
- = "zakreni u smjeru suprotnom od smjera kazaljke na satu za 90"

Dakle,

prva iteracija: F X Y F
druga iteracija: F X Y F - F X - Y F
treća iteracija: F X Y F - F X - Y F - F X Y F - - F X - Y F
četvrta iteracija: F X Y F - F X - Y F - F X Y F - - F X - Y F - F X Y F - F X - Y F - - F X Y F - - F X - Y F

Osim toga, moguće ju je prikazati i kao sustav rekurzivnih funkcija u kompleksnoj ravnini:

f_{1}(z)={\frac {(1 i)z}{2}}

f_{2}(z)=1-{\frac {(1-i)z}{2}}

.

Svojstva

Unatoč čudnom obliku, zmajolika krivulja ima relativno jednostavne dimenzije:

Površina se jednostavno može vidjeti iz njezina popločenja: površina slike gore jest pola kvadratne jedinice.

Samosličnost je jasno vidljiva: svaki "dio" je manji za ${\sqrt {2}}$ i rotiran za 45˚.

Fraktalna dimenzija joj je, kao i svim beskonačno gustim krivuljama u ravnini 2, a fraktalna dimenzija njezine granice se procjenjuje na 1.5238.

Davis-Knuthova zmajolika krivulja

Na engleskom poznatija pod nazivom twindragon ("zmajevi blizanci"). Dobije se postavljajući dvije zmajolike krivulje jednu do druge (leđa o leđa) ili sustavom iteriranih funkcija:

f_{1}(z)={\frac {(1 i)z}{2}}

f_{2}(z)={\frac {(1 i)z 1-i}{2}}

.

Vidi još

Logotip Zajedničkog poslužitelja

Zajednički poslužitelj ima stranicu o temi Zmajolika krivulja

Izvori

↑ (engl.) Dragon Curve -- from Wolfram MathWorld

[1] (engl.) Dragon Curve -- from Wolfram MathWorld

[1]