अवकलज

गणित में, एक वास्तविक चर के एक फलन का अवकलज इसके कोणांक (निवेश मान) में परिवर्तन के सम्बन्ध में फलन मान (उत्पाद मान) के परिवर्तन की संवेदनशीलता को मापता है। अवकलज कलन का एक मूलभूत उपकरण है। उदाहरणतः, समय के सम्बन्ध में वेग वस्तु की स्थिति का अवकलज वस्तु का वेग है: यह मापता है कि समय बढ़ने पर वस्तु की स्थिति कितनी शीघ्र बदल जाती है।

एक चुने हुए निवेश मान पर एकल चर के एक फलन का अवकलज, जब यह उपस्थित होता है, उस बिन्दु पर फलन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा का प्रावण्य होता है। स्पर्श रेखा उस निवेश मान के निकट फलन का सर्वोत्तम रेखीय सन्निकटन है। इसलिए, अवकलज को प्रायः "परिवर्तन की तात्कालिक दर" के रूप में वर्णित किया जाता है, आश्रित चर में तात्कालिक परिवर्तन का अनुपात स्वतंत्र चर के अनुपात में होता है।

अवकलजों को कई वास्तविक चरों के कार्यों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। इस सामान्यीकरण में, व्युत्पन्न को एक रैखिक परिवर्तन के रूप में पुनर्व्याख्या की जाती है जिसका ग्राफ (उचित अनुवाद के बाद) मूल कार्य के ग्राफ के लिए सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन है। जैकोबियन आव्यूह वह आव्यूह है जो स्वतन्त्र और आश्रित चर के विकल्प द्वारा दिए गए आधार के सम्बन्ध में इस रैखिक परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। इसकी गणना स्वतन्त्र चर के सम्बन्ध में आंशिक अवकलज के सन्दर्भ में की जा सकती है। कई चरों के वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन के लिए, जेकोबियन आव्यूह ग्रेडिएंट वेक्टर में कम हो जाता है।

अवकलज खोजने की प्रक्रिया को अवकलन कहा जाता है। इसके विपरित प्रक्रिया को प्रत्यवकलन कहा जाता है। कलन का मूलभूत प्रमेय प्रत्यवकलन को समाकलन से सम्बन्धित करता है। अवकलन और समाकलन कलन में दो मूलभूत प्रक्रियाओं का गठन करते हैं।

परिभाषा

मान लीजिए ƒ एक वास्तविक मानीय फलन है और इसकी परिभाषा के प्रान्त में एक बिन्दु x है। x पर ƒ का अवकलज निम्नलिखित सूत्र से परिभाषित है बशर्ते कि इस सीमा का अस्तित्व हो। x पर f (x) का अवकलज ƒ'(x) से निरूपित होता है।

f'(x)=\lim _{h\to 0}{f(x h)-f(x) \over h}

यदि सीमा का अस्तित्व है तो ƒ बिन्दु x पर अवकलनीय कहलाता है।

निरूपण

ऑय्लर द्वारा निरूपण

ऑय्लर का संकेतन एक अवकलज ऑपरेटर $D$ का उपयोग करता है, जो पहले अवकलज $Df$ देने के लिए एक फलन ƒ पर लागू होता है। nतम अवकलज को $D^{n}f$ के रूप में दर्शाया गया है।