מודל גינזבורג-לנדאו

בפיזיקה, מודל גינזבורג-לנדאו, הקרוי על שמם של ויטאלי גינזבורג ולב לנדאו הוא מודל מתמטי-פיזיקלי, המתאר מוליכות על. במקור מודל זה ניסה לתאר מוליכי על מן הסוג הראשון מבלי לבחון את תכונותיהם המיקרוסקופיות, אך מאוחר יותר, תוך שימוש במודלים מיקרוסקופיים, ניתנה פרשנות מיקרוסקופית לכלל הפרמטרים המופיעים במודל.

מבוא

בהתבסס על תורת לנדאו, במודל גינזבורג-לנדאו טוענים כי האנרגיה החופשית $F$ של מוליך על במעבר מן הפאזה מוליכת העל לפאזה הנורמלית ניתנת לפיתוח כטור חזקות בפרמטר סדר. במקרה זה פרמטר הסדר אותו נסמן ב־$\psi$ מרוכב וקשור לצפיפות האלקטרונים מוליכי העל, שאינם נתונים להתנגדות והקיימים רק בפאזה מוליכת העל (כלומר שווה ל־0 בפאזה הנורמלית – כיאה לפרמטר סדר). $\psi$ תלוי גם במרחב והוא למעשה פונקציית גל של הבוזונים הנמצאים בזרם מוליך העל כפי שמסבירה תאוריית BCS. הבחירה בפרמטר סדר שכזה נובעת מכך שתופעת הולכת העל היא תופעה קוונטית מאקרוסקופית. רושמים את האנרגיה החופשית כטור חזקות בפרמטר הסדר:
$F=F_{n} \alpha \left|\psi \right|^{2} {\frac {\beta }{2}}\left|\psi \right|^{4} {\frac {1}{2m}}\left|(-i\hbar \nabla -2e\mathbf {A} )\psi \right|^{2} {\frac {\left|\mathbf {B} \right|^{2}}{2\mu _{0}}}$

כאשר
•$F_{n}$ האנרגיה החופשית של המערכת בפאזה הנורמלית
•$\beta$ גודל חיובי.
•$\alpha$ פרמטר שסימנו תלוי בטמפרטורה.
•$\mathbf {A}$ הפוטנציאל הווקטורי.
•$e$ מטען האלקטרון.
•$m$ מסה אפקטיבית.
•$\hbar$ קבוע פלאנק המצומצם.
•$\mu _{0}$ פרמאביליות הריק.
•$\mathbf {B}$ השדה המגנטי המקיים $\nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B}$.
הביטוי ${\frac {1}{2m}}\left|(-i\hbar \nabla -2e\mathbf {A} )\psi \right|^{2}$ מתייחס לאנרגיה הקינטית של החלקיקים הקוונטיים ולאינטראקציית השדה המגנטי עמם והביטוי ${\frac {\left|\mathbf {B} \right|^{2}}{2\mu _{0}}}$ לוקח בחשבון את האנרגיה האגורה בשדה המגנטי הנוצר על ידי זרמים הנוצרים על שפת מוליך העל והדוחים שדה מגנטי חיצוני, דבר הידוע כאפקט מייסנר.
לאחר פיתוח האנרגיה החופשית לטור חזקות גוזרים אותה לפי פרמטר הסדר ולפי הפוטנציאל הווקטורי ומשווים ל-0 על-מנת לקבל את גדלים אלו במצב של שיווי משקל תרמודינמי (מצב שיווי משקל תרמודינמי מתקבל כאשר האנרגיה החופשית מינימלית). תוך שימוש בכיול קולון בו מתקיים $\nabla \cdot \mathbf {A} =0$ מקבלים את משוואות לנדאו-גינזבורג:
משוואת לנדאו-גינזבורג הראשונה:

$\alpha \psi \beta \left|\psi \right|^{2}\psi {\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla -2e\mathbf {A} )^{2}\psi =0$

משוואת לנדאו-גינזבורג השנייה:

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j}$

כאשר מגדירים $\mathbf {j} ={\frac {2e}{m}}\Re e(\psi ^{*}(-i\hbar \nabla -2e\mathbf {A} )\psi )$ .

עומק חדירה

הצורה הכללית ביותר עבור $\psi$ היא $\psi ({\vec {x}})={\sqrt {n({\vec {x}})}}\exp(iS({\vec {x}}))$ שמשקף כי $\left|\psi \right|^{2}=n({\vec {x}})$, צפיפות האלקטרונים מוליכי העל בחומר. הצבת $\psi$ בצורתה זו במשוואת לנדאו גינזבורג השנייה נותנת
$\mathbf {j} ={\frac {2en}{m}}(\hbar \nabla S-2e\mathbf {A} )$
מהפעלת הרוטור על שני אגפי המשוואה מקבלים
${\frac {-4e^{2}}{m}}[\nabla \times n\mathbf {A} ]=\nabla \times \mathbf {j}$

במרכזו של חומר אחיד, $n$ יהיה קבוע ולכן
${\frac {-4e^{2}n}{m}}\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {j}$
זו אחת ממשוואות לונדון. משימוש במשוואות מקסוול מגיעים ל-
$\nabla ^{2}\mathbf {B} ={\frac {4e^{2}n\mu _{0}}{m}}\mathbf {B} ={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\mathbf {B}$
כאשר $\lambda ={\sqrt {\frac {m}{4e^{2}n\mu _{0}}}}$ נקרא עומק החדירה ומתאר כמה עמוק יכול שדה מגנטי לחדור אל תוך מוליך העל.

אורך קוהרנציה

אפשר להסתכל על מקרה בו לא מופעל שדה מגנטי חיצוני ומוליך העל אחיד בתכונותיו ובצורתו. האנרגיה החופשית של לנדאו במקרה זה תתואר על ידי
$F=F_{n} \alpha \left|\psi \right|^{2} {\frac {1}{2}}\beta \left|\psi \right|^{4}$
גזירה של האנרגיה החופשית לפי פרמטר הסדר והשוואה ל-0 תוביל לשני פתרונות אפשריים:
$\left|\psi \right|^{2}=-{\frac {\alpha }{\beta }}$ או $\psi =0$

לשם פשטות נניח כי $\alpha =\alpha _{0}(T-T_{C})$ כאשר $T_{c}$ הטמפרטורה הקריטית. הביטוי מחליף סימן כאשר עוברים דרך הטמפרטורה הקריטית.

מעל לטמפרטורה הקריטית:
$\left|\psi \right|^{2}=-{\frac {\alpha }{\beta }}$ שלילי ונקבל כי הנורמה שווה למספר שלילי, דבר שאינו ייתכן ולכן נשאר עם $\psi =0$ המאפיין את הפאזה הנורמלית.
מתחת לטמפרטורה הקריטית:
$\left|\psi \right|^{2}=-{\frac {\alpha }{\beta }}$ חיובי ונותן את המינימום הגלובלי של האנרגיה החופשית בעוד ש$\psi =0$ מחזיר מקסימום מקומי של האנרגיה החופשית ולכן נקבל פרמטר סדר שונה מאפס, כלומר נהיה בפאזה מוליכת העל.

אפשר לראות כי ככל שמתקרבים לטמפרטורה הקריטית פרמטר הסדר שואף ל-0 בצורה רציפה, באופן האופייני למעברי פאזה מסדר שני.

כעת ניתן לבחון פתרונות במקרה של מוליך על שאינו אחיד ללא שדה מגנטי חיצוני, מינימיזציה של האנרגיה החופשית תוביל למשוואה
$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi \alpha (T)\psi \beta \left|\psi \right|^{2}\psi =0$
אפשר לאמר כי הפתרונות קרובים לאלו המתקבלים במקרה האחיד, כלומר $\psi =\psi _{0} \delta \psi$ כאשר $\left|\psi _{0}\right|^{2}=-{\frac {\alpha }{\beta }}$. מזניחים סדרים גבוהים מ-1 של $\delta \psi$ ומקבלים כי
$\delta \psi (r)\approx e^{-{\sqrt {2}}{\frac {r}{\xi (T)}}}$
כאשר $\xi ={\sqrt {\frac {\hbar ^{2}}{2m\left|\alpha \right|}}}$ נקרא אורך הקוהרנציה, גודל נוסף בתורה זו המאפיין מוליכי על יחד עם עומק החדירה. אורך הקוהרנציה מאפיין את הסטיות משיווי משקל כפונקציה של המרחק ושולט בכמה מהר $\psi$ מגיע לערכו המרכזי כאשר עוברים מאזור הנמצא בפאזה הנורמלית לאזור בחומר הנמצא בפאזה מוליכת העל. באמצעות שני הפרמטרים הללו אפשר להגדיר פרמטר חדש, פרמטר גינזבורג-לנדאו $\kappa ={\frac {\lambda }{\xi }}$. לנדאו הציע כי מוליכי על מסוג ראשון יאופיינו על ידי $\kappa <{\frac {1}{\sqrt {2}}}$ ומוליכי על מסוג שני יאופיינו על ידי $\kappa >{\frac {1}{\sqrt {2}}}$.

מוליכי על מסוג ראשון ושני

תורת גינזבורג-לנדאו מאפשרת לנו ללמוד על ההבדלים בין מוליכי על מסוג ראשון ושני יותר לעומק. נחזור לביטוי הראשוני עבור האנרגיה החופשית של לנדאו

$F=F_{n} \alpha \left|\psi \right|^{2} {\frac {\beta }{2}}\left|\psi \right|^{4} {\frac {1}{2m}}\left|(-i\hbar \nabla -2e\mathbf {A} )\psi \right|^{2} {\frac {\left|\mathbf {B} \right|^{2}}{2\mu _{0}}}$

נשים לב לכך שככל ש-$\lambda$, עומק החדירה, גדול יותר, כך יחדור השדה המגנטי עמוק יותר אל תוך מוליך העל, דבר שיגדיל בהתאם את ${\frac {\left|\mathbf {B} \right|^{2}}{2\mu _{0}}}$ ויוסיף תרומה חיובית לאנרגיה החופשית. ככל ש-$\xi$ יהיה גדול יותר, כך נקבל צפיפות אלקטרונים מוליכי על קטנה יותר והתרומה השלילית ל- $\alpha \left|\psi \right|^{2} {\frac {\beta }{2}}\left|\psi \right|^{4}$ תהיה קטנה יותר.

נסתכל על חומר שחלקו מצוי בפאזה העל מוליכה וחלקו בפאזה הנורמלית.

עבור חומר בו מתקיים $\xi >>\lambda$, לאזור מסוים בתווך בין החומר בפאזה הנורמלית לחומר בפאזה מוליכת העל תהיה אנרגיה חופשית חיובית בהינתן כי צפיפות האלקטרונים מוליכי העל בו קטנה וקיים שדה מגנטי שחודר לתוכו. במקרה שכזה הגדלת התווך בין הפאזות אינה עדיפה תרמודינמית וקוונטות שטף מגנטי המאפיינות מוליכי על מן הסוג השני לא יהיו קיימות. מכאן שמדובר במוליך על מסוג ראשון.

דיאגרמת הפאזה של מוליך על מסוג שני. בציר ה-x הטמפרטורה ובציר ה-y השדה המגנטי. אפקט מייסנר בא לידי ביטוי עבור שדה מגנטי הקטן משדה קריטי 1.בין שדה קריטי 1 לשדה קריטי 2 ישנה חדירה בלתי רציפה של שטף מגנטי. מעל לשדה קריטי 2 החומר כבר אינו בפאזה מוליכת העל. מקור: Frederic Bouquet (user:Fbouquet), Julien Bobroff (user:Jubobroff) LPS, Orsay, France

עבור חומר בו מתקיים $\xi <<\lambda$, יכולה להיות שכבה בקרבת התווך בה האנרגיה החופשית שלילית. אם נפעיל שדה מגנטי חיצוני מספיק חזק, אותו מסמנים $B_{c_{1}}$- שדה קריטי 1, הירידה באנרגיה החופשית כתוצאה מחדירה לא רציפה של השדה המגנטי אל תוך השכבה (כלומר חדירה בנקודות מסוימות בחומר, בהן החומר לוקאלית אינו עוד בפאזה העל מוליכה) ומהיווצרות קוונטות של שטף מגנטי גדולה מאשר השארת השכבה בפאזה מוליכת העל. ולכן, נקבל חדירה לא רציפה של שטף מגנטי אל תוך מוליך העל. ככל שמגדילים את השדה המגנטי כך מקבלים כי השטף המגנטי יחדור את החומר בנקודות נוספות, עד אשר נגיע לשדה מגנטי $B_{c_{2}}$ - שדה קריטי 2, עבורו החדירה תהיה למעשה רציפה והחומר עבר מן הפאזה מוליכת העל לפאזה הנורמלית. מדובר כאן במוליך על מסוג שני.

טבלת ערכים של חומרים שונים

החומר	$\lambda [nm]$	$\xi [nm]$	$\kappa$	$T_{c}[K]$	מוליך על מסוג
אלומיניום	16	1500	0.011	1.2	ראשון
אינדיום	25	400	0.062	3.4	ראשון
בדיל	28	300	0.093	3.72	ראשון
עופרת	28	110	0.255	7.19	ראשון
ניאוביום	32	39	0.82	9.26	שני
טנטלום	35	93	0.38	4.48	ראשון
${\ce {Nb_3Sn}}$	50	6	8.3	18	שני
${\ce {NbN}}$	50	6	8.3	16	שני

לקריאה נוספת

• M. Suzuki and I.S. Suzuki. (2007) "Lecture Note on Solid State Physics Ginzburg-Landau Theory for Superconductivity".Department of Physics, State University of New York at Binghamton, Binghamton, New York 13902-6000 URL:http://bingweb.binghamton.edu/~suzuki/SeniorLab_pdf/8_Ginzburg_Landau_theory_for_superconductivity.pdf
• Ginsburg - Landau Theory, Flux Quantization,2013(video file), available from https://www.youtube.com/watch?v=zqTrFNqHLYs