זווית

שתי הקרניים (מסומנות באדום) מחלקות את המרחב הדו-ממדי לשתי זוויות.

זוויות כגזרות מעגל. גודל הזווית $\alpha$ ברדיאנים, שווה ליחס בין אורך הקשת L1 לרדיוס R, ואילו גודל הזווית $\beta$ שווה ליחס בין אורך הקשת L2 לאורך הרדיוס.

בגאומטריה, זווית היא כל אחד משני חלקי המישור הסגורים המוגבלים על ידי שתי קרניים שיש להן נקודת קצה משותפת. לשם המחשה, מקובל לדמות את המישור לעיגול, ואת שתי הקרניים לשניים מרדיוסיו. על פי דימוי זה, הזווית היא גזרת העיגול המוגבלת על ידי שני רדיוסים. קרני הזווית, או הרדיוסים המגבילים אותה, מכונים שוקי הזווית. נקודת הקצה המשותפת לשתי השוקיים, נקראת קדקוד הזווית. סימון זוויות נעשה, בדרך כלל, באמצעות אותיות האלפבית היווני.

זווית בין שתי עקומות במישור שנחתכות זו עם זו, היא הזווית בין המשיקים לעקומות, בנקודת החיתוך. במרחב התלת-ממדי, זווית בין מישורים נחתכים, היא הזווית הנוצרת בין שני ישרים השוכנים בשני המישורים, והמאונכים לקו החיתוך של המישורים, בנקודה כלשהי. הזווית בין שתי קשתות על פני כדור היא הזווית בין המישורים המכילים אותן.

גודל הזווית

בשם זווית מכנים גם את גודלה של הזווית, שהוא גודל חסר ממד. על פי ההגדרה המקורית, גודל הזווית, הוא חלק המישור המוגבל על ידי שתי שוקיה. כך למשל, במקרה בו שתי שוקי זווית מתלכדות, אחת מהזוויות המתקבלות שווה ל-0, ואילו השנייה שווה ל-1 (זווית שלמה).

בשימושים מתמטיים, גודל הזווית מוגדר על ידי היחס בין הקשת המוגבלת על ידי שוקי הזווית, לבין אורך השוק עצמה (רדיוס הקשת). יחידת המידה בשיטה זו היא הרדיאן. לפי שיטה זו גודל הזווית השלמה הוא $\ 2\pi$ רדיאנים.

בשימושים שאינם מתמטיים, מקובלת הגדרה המבוססת על חלוקת המעגל ל-360 גזרות מעגל שוות. כל יחידה כזו קרויה מעלה. הסמל המקובל לציון יחידה זו הוא סימן כתב עילי בצורת עיגול (°).

ניתן להגדיר את גודל הזווית גם במושגים של סיבוב. על פי הגדרה זו, הזווית השלמה מקבילה לסיבוב מלא של קרן או של קטע סביב נקודת הקצה שלהם, וגודלן של זוויות שהן קטנות מזווית שלמה, מוגדר על ידי חלקי סיבוב.

למדידה מקורבת של זווית משמש מד זווית – מכשיר מדידה דמוי חצי עיגול, או עיגול שלם, שעליו שנתות עם סימון גודלי הזוויות. מדידה מדויקת יותר יכולה להיעשות באמצעות מד-זווית אלקטרו-מכני.

סוגי זוויות

זווית בודדת

סוגי זוויות

• זווית מנוונת – זווית בת 0°.
• זווית חדה – זווית קטנה מזווית ישרה (וגדולה מ-0°).
• זווית ישרה – רבע מזווית שלמה. זווית בת 90°. כל אחת משוקי הזווית היא אנך לצלע השנייה.
• זווית קהה – זווית גדולה מזווית ישרה וקטנה מזווית שטוחה.
• זווית שטוחה – מחצית מזווית שלמה. זווית בת 180°. שני שוקי הזווית מונחים על ישר אחד.
• זווית נִישָּׂאָה – זווית גדולה מזווית שטוחה אך קטנה מזווית שלמה.
• זווית שלמה – זווית בת 360°. שתי שוקי הזווית מתלכדות זו עם זו.

זוגות של זוויות

צמדי הזוויות A ו-C, C ו-B, B ו-D, D ו-A, הם זוגות של זוויות צמודות. צמדי הזוויות A ו-C ,B ו-D, הם זוגות של זוויות קדקודיות

זוויות בין שני ישרים נחתכים

שני ישרים נחתכים יוצרים ארבע זוויות שיש להן קדקוד משותף (נקודת החיתוך של הישרים). ניתן למיין זוויות אלו לשני סוגים של זוגות זוויות:

• זוויות צמודות – זוג זוויות שיש להן שוק משותפת. שתי השוקיים שאינן משותפות יוצרות זווית שטוחה (המהווה למעשה את אחד הישרים הנחתכים) סכומן של זוויות צמודות שווה ל-180 מעלות ($\pi$ ברדיאנים). לעיתים מכונות זוויות אלו זוויות משלימות (Supplementary angles). שני ישרים נחתכים יוצרים ארבעה זוגות של זוויות צמודות.

• זוויות קודקודיות – שתיים מארבע הזוויות הנוצרות על ידי שני ישרים נחתכים, שאין להן שוקיים משותפות. לזוויות קדקודיות יש קדקוד משותף וממנו נגזר שמן. שני ישרים נחתכים יוצרים שני זוגות של זוויות קדקודיות. זוויות קודקודיות שוות זו לזו, וזאת ניתן להוכיח באמצעות המשפט לפיו סכום זוויות צמודות על ישר הוא 180 מעלות. מכיוון שלכל אחת מהזוויות הקודקודיות זווית משלימה משותפת, כל אחת מהן משלימה אותה ל-180 מעלות, ומכאן שהן שוות. בתרשים, זוויות A ו-B הן זוג זוויות קודקודיות, והן שוות זו לזו. כך גם זוויות C ו-D.

זוויות בין שני ישרים וישר החותך אותם

ערך מורחב – זוויות בין שני ישרים מקבילים הנחתכים על ידי ישר שלישי

שני ישרים וישר החותך אותם. α ו-α₁ הן זוויות מתאימות. α ו-δ₁ הן זוויות חד-צדדיות פנימיות; δ ו-α₁ הן זוויות חד-צדדיות חיצוניות. α ו-γ₁ הן זוויות מתחלפות פנימיות; γ ו-α₁ הן זוויות מתחלפות חיצוניות.

• שני ישרים וישר החותך אותם יוצרים שמונה זוויות. ניתן למיין זוויות אלו לשלושה סוגים של זוגות זוויות:
  • זוויות מתאימות – זוג זוויות הנמצאות באותו צד של הישר החותך ובאותו מקום ביחס לשני הישרים הנחתכים (מעל הקו הישר או מתחת הקו הישר). זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו בגודלן.
  • זוויות חד-צדדיות – זוג זוויות מאותו צד של הישר החותך, הנמצאות שתיהן בין שני הישרים (פנימיות), או שתיהן מחוץ לשני הישרים (חיצוניות). סכום זוויות חד-צדדיות בין ישרים מקבילים הוא 180° (כמו זווית שטוחה).
  • זוויות מתחלפות – זוג זוויות משני צדי הישר החותך, הנמצאות שתיהן בין שני הישרים (פנימיות), או שתיהן מחוץ לשני הישרים (חיצוניות). זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו בגודלן.

צמדי הזוויות המסומנות בירוק ובצהוב הם זוגות של זוויות מתחלפות (פנימיות וחיצוניות). צמדי הזוויות המסומנות באדום ובכחול הם זוגות של זוויות מתאימות. צמדי הזוויות המסומנות בכתום ובוורוד הם זוגות של זוויות חד-צדדיות (פנימיות וחיצוניות).

זוויות במצולעים

זוגות הזוויות המסומנות בצבע זהה הן זוויות נגדיות. זוגות זוויות שצבען שונה הן זוויות סמוכות.

זוויות בסיס במשולש ובטרפז שווי שוקיים.

• זוויות נגדיות במרובע הן זוג זוויות פנימיות של המרובע שאין להן שוק משותפת. במרובע ישנן שני זוגות זוויות כאלה. זוויות נגדיות במקבילית (ולכן גם במעוין, מלבן וריבוע) שוות זו לזו.
• זוויות סמוכות במרובע הן זוג זוויות פנימיות של המרובע שיש להן שוק משותפת. במרובע ישנן ארבעה זוגות זוויות כאלה. סכומן של זוויות סמוכות במקבילית שווה ל-180 מעלות.
• זוויות בסיס במשולש שווה-שוקיים הן זוויות שנמצאות מול השוקיים השוות. בטרפז שווה-שוקיים ישנן שני זוגות של זוויות כאלו: זוג זוויות סמוכות שהבסיס הגדול הוא שוק משותפת שלהן, וזוג זוויות סמוכות שהבסיס הקטן הוא שוק משותפת שלהן. זוויות הבסיס במשולש ובטרפז שווי שוקיים שוות זו לזו.
• זווית חיצונית למצולע קמור היא כל אחת מהזווית הצמודות לאחת מהזוויות הפנימיות של המצולע. זווית חיצונית למשולש שווה לסכום הזוויות שאינן צמודות לה. סכום הזוויות החיצוניות במצולע קמור הוא 360 מעלות.

בעיות הקשורות בזוויות

חצייה של זווית (כלומר חלוקתה לשתי זוויות שוות זו לזו), באמצעות סרגל ומחוגה בלבד, היא בעיית בנייה פשוטה ביותר. טריסקציה של זווית, כלומר חלוקתה לשלוש זוויות שוות, התגלתה כבעיה קשה ביותר. אף שהבעיה הוצגה כבר ביוון העתיקה, הרי שרק במאה ה-19 נמצאה הוכחה שלבעיה זו אין פתרון.

על זוויות במצולע ראו בערך מצולע.

הפונקציות הטריגונומטריות הן פונקציות הפועלות על זוויות. הטריגונומטריה, העוסקת בפונקציות אלה, כוללת משפטים רבים העוסקים בקשרים בין זוויות שונות.

ראו גם

• זווית דו-מישור

קישורים חיצוניים

• הסבר על זוויות – מתוך המילון לגאומטריה של משרד החינוך
• למה יש 360 מעלות במעגל?, באתר אלכסון
• סוגי זוויות: קהה, חדה, ישרה, שטוחה, נישאה, באתר לרגו
• זוויות קודקודיות, אתר לרגו
• זוויות מתחלפות, מתאימות, קודקודיות וצמודות, באתר לרגו
• זווית, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• זווית, באתר MathWorld (באנגלית)