Serie de Fourier

En matemáticas, chámase serie de Fourier, a aquela da forma:

$y(x)={\frac {a_{0}}{2}} \sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos(nx) b_{n}\operatorname {sen} (nx)\right],$ onde $a_{n}$ e $b_{n}$ denomínanse coeficientes de Fourier da serie de Fourier da función y(x).

Fourier foi o primeiro que estudou tales series sistematicamente, aplicándoas á solución da ecuación da calor e publicando os seus resultados iniciais en 1807 e 1811. Esta área de investigación chámase algunhas veces Análise harmónica.

Converxencia a unha función periódica

Se f(x) é unha función periódica de período 2π e $a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx$, e $b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\operatorname {sen} nxdx$ daquela a serie converxe a f(x).

Forma exponencial

Pola identidade de Euler($e^{ix}=\cos(x) i\operatorname {sen} (x)$), e operando adecuadamente, se

$C_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\,e^{-inx}\,dx.$

a serie de Fourier pódese expresar coma a suma de dúas series:

$\sum _{n=0}^{\infty }C_{-n}\,e^{-inx} \sum _{n=0}^{\infty }C_{n}\,e^{inx}.$

En forma máis compacta:

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }C_{n}\,e^{inx}$

Aplicacións

Solución de ecuacións diferenciais

A ecuación a resolver

Enxeñaría

É común substituír a variábel x por ωt, resultando as compoñentes:

$C_{n}={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}f(t)\,e^{-in\omega \,t}\,dt.$

Polo tanto:

$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }C_{n}\,e^{in\omega \,t}$

Algunhas consecuencias positivas das propiedades de homomorfismo de exp

Debido a que as "funcións base" e^ikx son homomorfismos da liña real (máis concretamente, do "grupo do círculo") temos certas identidades útiles:

1. Se $g(x)=f(x-y)$ daquela ${\hat {g}}(k)=e^{-iky}{\hat {f}}(k)$
2. A transformada de Fourier é un morfismo: $(f*g){\hat {}}(k)={\hat {f}}(k){\hat {g}}(k)$—isto é, a transformada de Fourier dunha convolución é o produto das transformadas de Fourier.

Formulación xeral

As útiles propiedades das series de Fourier son debidas principalmente á ortogonalidade e á propiedade de homomorfismo das funcións e^{i n x}.

Outras sucesións de funcións ortogonais teñen propiedades similares, aínda que algunhas identidades útiles, concernendo por exemplo ás convolucións, non seguirán cumpríndose se se perde a "propiedade de homomorfismo".

Algúns exemplos son as secuencias de funcións de Bessel e os polinomios ortogonais. Tales sucesións obtéñense normalmente como solucións dunha ecuación diferencial; unha gran clase de tales sucesións útiles son solucións dos chamados problemas de Sturm-Liouville.

Véxase tamén

Outros artigos

• Transformada de Fourier.
• Análise harmónica.
• Fenómeno de Gibbs.

---

Este artigo sobre matemáticas é, polo de agora, só un bosquexo. Traballa nel para axudar a contribuír a que a Galipedia mellore e medre.  Existen igualmente outros artigos relacionados con este tema nos que tamén podes contribuír.

---