Regra da cadea

En cálculo, a regra da cadea é unha fórmula que expresa a derivada da composición de dúas funcións diferenciábeis $f$ e $g$ en termos das derivadas de $f$ e de $g$ . Máis precisamente, se $h=f\circ g$ é a función tal que $h(x)=f(g(x))$ para cada $x$ , entón a regra da cadea é, na notación de Lagrange,

h'(x)=f'(g(x))g'(x).

ou equivalentemente,

h'=(f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'.

A regra da cadea tamén se pode expresar na notación de Leibniz. Se unha variábel $z$ depende da variábel $y$ , que a si mesmo depende da variábel $x$ (é dicir, $y$ e $z$ son variábeis dependentes), entón $z$ depende tamén de $x$ , a través da variábel intermedia $y$ . Neste caso, a regra da cadea exprésase como

{\frac {dz}{dx}}={\frac {dz}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dx}},

e

\left.{\frac {dz}{dx}}\right|_{x}=\left.{\frac {dz}{dy}}\right|_{y(x)}\cdot \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x},

para indicar en que puntos se teñen que avaliar as derivadas.

Na integración, a contrapartida da regra da cadea é o cambio de variábel.

Enunciado

A forma máis sinxela da regra da cadea é para funcións con valores reais dunha variábel real. Afirma que se $g$ é unha función que é derivábel nun punto $c$ (isto é, a derivada $g'(c)$ existe) e $f$ é unha función que é derivábel en $g (c)$ , entón a función composta $f\circ g$ é diferenciábel en $c$ , e a derivada é^[1]

(f\circ g)'(c)=f'(g(c))\cdot g'(c).

A regra ás veces abreviase como

(f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'.

Continuando o mesmo razoamento, dadas $n$ funcións $f_{1},\ldots ,f_{n}\!$ coa función composta $f_{1}\circ (f_{2}\circ \cdots (f_{n-1}\circ f_{n}))\!$ , se cada función $f_{i}\!$ é diferenciábel na súa entrada inmediata, entón a función composta tamén é diferenciábel pola aplicación repetida da regra da cadea, onde a derivada é (en notación de Leibniz):

{\frac {df_{1}}{dx}}={\frac {df_{1}}{df_{2}}}{\frac {df_{2}}{df_{3}}}\cdots {\frac {df_{n}}{dx}}.

Aplicacións

Composición de máis de dúas funcións

A regra da cadea pódese aplicar a compostos de máis de dúas funcións. Podemos velo cun exemplo:

Consideremos a función $y=e^{\sin(x^{2})}.$ Isto pódese descompoñer como a composición de tres funcións:

{\begin{aligned}y&=f(u)=e^{u},\\u&=g(v)=\sin v,\\v&=h(x)=x^{2}.\end{aligned}}

Así que

y=f(g(h(x)))

.

As súas derivadas son:

{\begin{aligned}{\frac {dy}{du}}&=f'(u)=e^{u},\\{\frac {du}{dv}}&=g'(v)=\cos v,\\{\frac {dv}{dx}}&=h'(x)=2x.\end{aligned}}

A regra da cadea estabelece que a derivada da súa composición no punto $x = a$ é:

{\begin{aligned}(f\circ g\circ h)'(a)&=f'((g\circ h)(a))\cdot (g\circ h)'(a)\\&=f'((g\circ h)(a))\cdot g'(h(a))\cdot h'(a)\\&=(f'\circ g\circ h)(a)\cdot (g'\circ h)(a)\cdot h'(a).\end{aligned}}

En notación de Leibniz, isto é:

{\frac {dy}{dx}}=\left.{\frac {dy}{du}}\right|_{u=g(h(a))}\cdot \left.{\frac {du}{dv}}\right|_{v=h(a)}\cdot \left.{\frac {dv}{dx}}\right|_{x=a},

ou para abreviar,

{\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dv}}\cdot {\frac {dv}{dx}}.

Polo tanto, a función derivada é:

{\frac {dy}{dx}}=e^{\sin(x^{2})}\cdot \cos(x^{2})\cdot 2x.

Outra forma de calcular esta derivada é ver a función composta $f \circ g \circ h$ como a composición de $f \circ g$ e h. Aplicando a regra da cadea deste xeito obterase:

(f\circ g\circ h)'(a)=(f\circ g)'(h(a))\cdot h'(a)=f'(g(h(a)))\cdot g'(h(a))\cdot h'(a).

Isto é o mesmo que o calculado anteriormente. Isto debería esperarse porque $(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)$ .

Regra do cociente

A regra da cadea pódese usar para derivar algunhas regras de diferenciación coñecidas. Por exemplo, a regra do cociente é unha consecuencia da regra da cadea e da regra do produto. Para ver isto, escribimos a función $f (x)/ g (x)$ como o produto $f (x) \cdot 1/ g (x)$ . Primeiro aplicamos a regra do produto:

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)&={\frac {d}{dx}}\left(f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}\right)\\&=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}} f(x)\cdot {\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{g(x)}}\right).\end{aligned}}

Para calcular a derivada de $1/ g (x)$ , observamos que é a composición de $g$ coa función recíproca, é dicir, a función que envía $x$ a $1/ x$ . A derivada da función recíproca é $-1/x^{2}\!$ . Ao aplicar a regra da cadea, a última expresión pasa a ser:

f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}} f(x)\cdot \left(-{\frac {1}{g(x)^{2}}}\cdot g'(x)\right)={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}},

que é a fórmula habitual da regra do cociente.

Derivadas de funcións inversas

Supoñamos que $y = g (x)$ ten unha función inversa. Chamamos á súa función inversa $f$ para que teñamos $x = f (y)$ . Hai unha fórmula para a derivada de $f$ en termos da derivada de $g$ . Para ver isto, temos en conta que $f$ e $g$ satisfán a fórmula

f(g(x))=x.

E como as funcións $f(g(x))$ e $x$ son iguais, as súas derivadas deben ser iguais. A derivada de $x$ é a función constante con valor 1, e a derivada de $f(g(x))$ está determinada pola regra da cadea. Polo tanto, temos que:

f'(g(x))g'(x)=1.

Para expresar $f'$ como función dunha variábel independente $y$ , substituímos $f(y)$ por $x$ onde queira que apareza. Entón podemos resolver para $f'$ .