Recta real estendida

Números reais estendidos: a) Números reais estendidos afinmente e b) Números reais estendidos proxectivamente

En matemáticas, o sistema de números reais estendido obtense a partir do sistema de números reais $\mathbb {R}$ engadindo dous elementos infinitos: $\infty$ e $-\infty ,$ onde os infinitos son tratados como números reais. É útil para describir a álxebra sobre infinitos e os distintos comportamentos limitantes en cálculo e análise matemática, especialmente na teoría da medida e da integración. Denotase o sistema de números reais estendidos ${\overline {\mathbb {R} }}$ ou $[-\infty , \infty ]$ ou $\mathbb {R} \cup \left\{-\infty , \infty \right\}.$ É o completamento de Dedekind–MacNeille dos números reais.

Cando o significado é claro polo contexto, o símbolo $\infty$ adoita escribirse simplemente como $\infty .$

Tamén está a recta real estendida proxectivamente onde $\infty$ e $-\infty$ non se distinguen polo que o infinito denotase só por $\infty$ .

Motivación

Límites

Moitas veces é útil describir o comportamento dunha función $f$ cando o argumento $x$ ou o valor da función $f$ faise "infinitamente grande" nalgún sentido. Por exemplo, considere a función $f$ definido por

$f(x)={\frac {1}{x^{2}}}.$

A gráfica desta función ten unha asíntota horizontal en $y=0.$ Xeométricamente, ao moverse cada vez máis á dereita ao longo do eixo $x$, o valor de ${\textstyle {1}/{x^{2}}}$ achégase a 0. Este comportamento limitante é semellante ao límite dunha función ${\textstyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)}$ no que o número real $x$ aproxima a $x_{0},$ agás que non hai un número real ao que $x$ se aproxime.

Ao engadir os elementos $\infty$ e $-\infty$ a $\mathbb {R} ,$ isto permite a formulación dun "límite ao infinito", con propiedades topolóxicas similares ás de $\mathbb {R} .$

Para facer as cousas completamente formais, a definición de secuencias de Cauchy en $\mathbb {R}$ permite definir $\infty$ como o conxunto de todas as secuencias $(a_{n})$ de números racionais tal que cada $M\in \mathbb {R}$ está asociado cun correspondente $N\in \mathbb {N}$ para o cal $a_{n}>M$ para todos $n>N.$ A definición de $-\infty$ pódese construír de xeito similar.

Medida e integración

Na teoría da medida, adoita ser útil permitir conxuntos que teñen unha medida infinita e integrais cuxo valor pode ser infinito.

Esas medidas xorden naturalmente do cálculo. Por exemplo, ao asignar unha medida a $\mathbb {R}$ que concorde coa lonxitude habitual dos intervalos, esta medida debe ser maior que calquera número real finito. Ademais, ao considerar integrais impropias, como

$\int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}$

xorde o valor "infinito". Finalmente, adoita ser útil considerar o límite dunha secuencia de funcións, por exemplo

$f_{n}(x)={\begin{cases}2n(1-nx),&{\mbox{if }}0\leq x\leq {\frac {1}{n}}\\0,&{\mbox{if }}{\frac {1}{n}}<x\leq 1\end{cases}}$

Sen permitir que as funcións tomen valores infinitos, resultados tan esenciais como o teorema da converxencia monótona e o teorema da converxencia dominada non terían sentido.

Operacións aritméticas

As operacións aritméticas de $\mathbb {R}$ pódense estender parcialmente a ${\overline {\mathbb {R} }}$ do seguinte xeito:

$${\begin{aligned}a\pm \infty =\pm \infty a&=\pm \infty ,&a&\neq \mp \infty \\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\pm \infty ,&a&\in (0, \infty ]\\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\mp \infty ,&a&\in [-\infty ,0)\\{\frac {a}{\pm \infty }}&=0,&a&\in \mathbb {R} \\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\pm \infty ,&a&\in (0, \infty )\\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\mp \infty ,&a&\in (-\infty ,0)\end{aligned}}$$

As expresións $\infty -\infty ,0\times (\pm \infty )$ e $\pm \infty /\pm \infty$ (chamadas formas indeterminadas ) adoitan quedar sen definir. Estas regras están modeladas nas leis de límites infinitos. Non obstante, no contexto da teoría da probabilidade ou da medida, $0\times \pm \infty$ a miúdo defínese como $0.$

Varios

Varias funcións pódense estender con continuidade a ${\overline {\mathbb {R} }}$ tomando límites. Por exemplo, pódense definir os puntos extremos das seguintes funcións como:

$\exp(-\infty )=0,$

$\ln(0)=-\infty ,$

$\tanh(\pm \infty )=\pm 1,$

$\arctan(\pm \infty )=\pm {\frac {\pi }{2}}.$

Tamén se poden eliminar algunhas singularidades. Por exemplo, a función $1/x^{2}$ pódese estender con continuidade a ${\overline {\mathbb {R} }}$ (baixo algunhas definicións de continuidade), estabelecendo o valor en $\infty$ para $x=0,$ e $0$ para $x= \infty$ e $x=-\infty .$ Por outra banda, a función $1/x$ non se pode estender con continuidade, porque a función se achega a $-\infty$ cando $x$ aproxima a $0$ dende abaixo, e $\infty$ cando $x$ aproxima a $0$ desde arriba, é dicir, a función non converxe ao mesmo valor cando a súa variábel independente tamén se achega ao mesmo elemento do dominio tanto do lado positivo como do negativo.

Véxase tamén

Bibliografía

• Aliprantis, Charalambos D.; Burkinshaw, Owen (1998). Principles of Real Analysis (3rd ed.). San Diego, CA: Academic Press, Inc. p. 29. ISBN 0-12-050257-7. MR 1669668. 
• David W. Cantrell. "Affinely Extended Real Numbers". MathWorld. 

Outros artigos

• División por cero.
• Infinito.