Integración por cambio de variábeis

En cálculo, a integración por cambio de variábeis, tamén coñecida como integración por substitución, é un método para avaliar integrais e antiderivadas. É a contrapartida da regra da cadea para a diferenciación, e pode considerarse que usa a regra da cadea "ao revés".

Cambio dunha única variábel

Introdución (integrais indefinidas)

Consideremos un caso sinxelo que utiliza integrais indefinidas.

Calcular ${\textstyle \int (2x^{3} 1)^{7}(x^{2})\,dx.}$

Facemos $u=2x^{3} 1.$ Isto significa que ${\textstyle {\frac {du}{dx}}=6x^{2},}$ ou como forma diferencial, ${\textstyle du=6x^{2}\,dx.}$ Agora:

${\begin{aligned}\int (2x^{3} 1)^{7}(x^{2})\,dx&={\frac {1}{6}}\int \underbrace {(2x^{3} 1)^{7}} _{u^{7}}\underbrace {(6x^{2})\,dx} _{du}\\&={\frac {1}{6}}\int u^{7}\,du\\&={\frac {1}{6}}\left({\frac {1}{8}}u^{8}\right) C\\&={\frac {1}{48}}(2x^{3} 1)^{8} C,\end{aligned}}$

onde $C$ é unha constante arbitraria de integración.

Este procedemento utilízase con frecuencia, mais non todas as integrais teñen unha forma que permita a súa aplicación. En todo caso, o resultado debe verificarse diferenciando e comparando co integrando orixinal.

${\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{48}}(2x^{3} 1)^{8} C\right]={\frac {1}{6}}(2x^{3} 1)^{7}(6x^{2})=(2x^{3} 1)^{7}(x^{2}).$

Para as integrais definidas, tamén se deben axustar os límites de integración, mais o procedemento é o mesmo na súa maior parte.

Enunciado para integrais definidas

Sexa $g:[a,b]\to I$ unha función diferenciábel cunha derivada continua, onde $I\subset \mathbb {R}$ é un intervalo. Supoñamos que $f:I\to \mathbb {R}$ é unha función continua. Entón:

$\int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\,dx=\int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\ du.$

En notación de Leibniz, a substitución $u=g(x)$ produce:

${\frac {du}{dx}}=g'(x).$

Isto produce a ecuación $du=g'(x)\,dx$.

A fórmula úsase para transformar unha integral noutra integral que sexa máis fácil de calcular.

Exemplos: Antiderivadas (integrais indefinidas)

O cambio de variábeis pódese usar para determinar as antiderivadas. Escollemos unha relación entre $x$ e $u,$ determinamos a correspondente relación entre $dx$ e $du$ diferenciando, e realizamos as substitucións. Tentamos que este cambio produza unha integral máis simple de resolver como integral inmediata.

Exemplo 1

Considere a integral:

$\int x\cos(x^{2} 1)\ dx.$

Facemos a substitución ${\textstyle u=x^{2} 1}$ e diferenciando esa ecuación temos $du=2x\ dx,$ e por tanto ${\textstyle x\ dx={\frac {1}{2}}\ du.}$ Polo tanto:

${\begin{aligned}\int x\cos(x^{2} 1)\,dx&={\frac {1}{2}}\int 2x\cos(x^{2} 1)\,dx\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\int \cos u\,du\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\sin u C\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\sin(x^{2} 1) C,\end{aligned}}$

onde $C$ é a constante de integración.

Exemplo 2: Antiderivada da tanxente

A función tanxente pódese integrar mediante a substitución expresándoa en termos de seno e coseno: $\tan x={\tfrac {\sin x}{\cos x}}$ .

Usando a substitución $u=\cos x$ dá $du=-\sin x\,dx$ e

${\begin{aligned}\int \tan x\,dx&=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\,dx\\&=\int -{\frac {du}{u}}\\&=-\ln \left|u\right| C\\&=-\ln \left|\cos x\right| C\\&=\ln \left|\sec x\right| C.\end{aligned}}$

Exemplos: Integrais definidas

Ao avaliar integrais definidas por cambio de variábel, pódese calcular a antiderivada completamente primeiro e despois aplicar as condicións de contorno.

Exemplo 1

Considere a integral: $\int _{0}^{2}{\frac {x}{\sqrt {x^{2} 1}}}dx.$

Facemos a substitución ${\textstyle u=x^{2} 1}$ e derivando obtemos $du=2x\ dx,$ e daí temos ${\textstyle x\ dx={\frac {1}{2}}\ du.}$ Polo tanto:

${\begin{aligned}\int _{x=0}^{x=2}{\frac {x}{\sqrt {x^{2} 1}}}\ dx&={\frac {1}{2}}\int _{u=1}^{u=5}{\frac {du}{\sqrt {u}}}\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\left(2{\sqrt {5}}-2{\sqrt {1}}\right)\\[6pt]&={\sqrt {5}}-1.\end{aligned}}$

Onde o límite inferior $x=0$ foi substituído en ${\textstyle u=x^{2} 1}$ dando $u=1,$ e o límite superior $x=2$ danto $2^{2} 1=5$.

Exemplo 2: Substitución trigonométrica

Para a integral $\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx,$ podemos facer o seguinte. Aplicamos a substitución $x=\sin u$, e derivando temos $dx=\cos u\,du$, un cambio útil porque ${\textstyle {\sqrt {1-\sin ^{2}u}}=\cos u.}$ Temos así:

${\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\ dx&=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-\sin ^{2}u}}\cos u\ du\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2}u\ du\\[6pt]&=\left[{\frac {u}{2}} {\frac {\sin(2u)}{4}}\right]_{0}^{\pi /2}\\[6pt]&={\frac {\pi }{4}} 0\\[6pt]&={\frac {\pi }{4}}.\end{aligned}}$

A integral resultante pódese calcular mediante a integración por partes ou unha fórmula de dobre ángulo, ${\textstyle 2\cos ^{2}u=1 \cos(2u),}$ seguido dunha substitución máis.

Substitución por varias variábeis

Tamén se pode usar a substitución ao integrar funcións de varias variábeis.

Aquí, a función de substitución (v₁,...,v_n) = φ(u₁, ..., u_n) debe ser inxectiva e continuamente derivábel, e as diferenciais transfórmanse como:

$dv_{1}\cdots dv_{n}=\left|\det(D\varphi )(u_{1},\ldots ,u_{n})\right|\,du_{1}\cdots du_{n},$

onde det(Dφ)(u₁, ..., u_n) denota o determinante da matriz jacobiana de derivadas parciais de φ no punto (u₁, ..., u_n). Esta fórmula expresa o feito de que o valor absoluto do determinante dunha matriz é igual ao volume do paralelotopo expandido polas súas columnas ou filas.

Máis precisamente, a fórmula do cambio de variábeis está indicada no seguinte teorema:

Aplicación en probabilidade

O cambio de variábeis pódese usar para responder á seguinte pregunta importante en probabilidade: dada unha variábel aleatoria X con densidade de probabilidade p_X e outra variábel aleatoria Y tal que Y= ϕ(X) para unha ϕ, inxectiva (un a un), cal é a densidade de probabilidade de Y ?

É máis doado responder a esta pregunta respondendo primeiro a unha pregunta lixeiramente diferente: cal é a probabilidade de que Y tome un valor nalgún subconxunto S en particular? Denotamos esta probabilidade P(Y ∈ S). Por suposto, se Y ten densidade de probabilidade p_Y, entón a resposta é:

$P(Y\in S)=\int _{S}p_{Y}(y)\,dy,$

mais isto non é realmente útil porque non coñecemos p_Y; que é o que estamos tentando atopar. Podemos avanzar considerando o problema na variábele X. Temos que Y toma un valor en S sempre que X toma un valor en ${\textstyle \phi ^{-1}(S),}$ logo:

$P(Y\in S)=P(X\in \phi ^{-1}(S))=\int _{\phi ^{-1}(S)}p_{X}(x)\,dx.$

O cambio de variábel de x a y dá:

$P(Y\in S)=\int _{\phi ^{-1}(S)}p_{X}(x)\,dx=\int _{S}p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|\,dy.$

Ao combinar isto coa nosa primeira ecuación temos:

$\int _{S}p_{Y}(y)\,dy=\int _{S}p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|\,dy,$ así:

$p_{Y}(y)=p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|.$

No caso en que X e Y dependen de varias variábeis non correlacionadas (isto é, ${\textstyle p_{X}=p_{X}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ e $y=\phi (x)$ ), $p_{Y}$ pódese atopar por substitución en varias variábeis comentado anteriormente. O resultado é:

$p_{Y}(y)=p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|\det D\phi ^{-1}(y)\right|.$

Véxase tamén

Bibliografía

• Briggs, William; Cochran, Lyle (2011). Calculus /Early Transcendentals (Single Variable ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-66414-3. 
• Ferzola, Anthony P. (1994). Euler and differentials. The College Mathematics Journal 25. pp. 102–111. JSTOR 2687130. doi:10.2307/2687130. Arquivado dende o orixinal o 2012-11-07. Consultado o 2008-12-24. 
• Fremlin, D.H. (2010). Measure Theory, Volume 2. Torres Fremlin. ISBN 978-0-9538129-7-4. .
• Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965). Real and Abstract Analysis. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-04559-7. .
• Katz, V. (1982). Change of variables in multiple integrals: Euler to Cartan. Mathematics Magazine 55. pp. 3–11. JSTOR 2689856. doi:10.2307/2689856. 
• Rudin, Walter (1987). Real and Complex Analysis. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1. .
• Swokowski, Earl W. (1983). Calculus with analytic geometry (alternate ed.). Prindle, Weber & Schmidt. ISBN 0-87150-341-7. 
• Spivak, Michael (1965). Calculus on Manifolds. Westview Press. ISBN 978-0-8053-9021-6. .

Outros artigos

• Cambio de variábeis
• Substitución trigonométrica
• Substitución de Weierstrass
• Substitución de Euler

Ligazóns externas

• Integration by substitution en Encyclopedia of Mathematics
• Area formula en Encyclopedia of Mathematics