Espiral dourada

A espiral dourada (denominada tamén espiral áurea) é unha espiral logarítmica asociada ás propiedades xeométricas do rectángulo dourado.^[1] A razón de crecemento é Φ, é dicir a razón dourada ou número áureo. Aparece esta espiral representada en diversas figuras da natureza (plantas, galaxias espirais), así como na arte.

Desenvolvemento matemático

A ecuación polar que describe a espiral dourada é a mesma que calquera outra espiral logarítmica, pero co factor de crecemento ( $b$ ) igual Φ, isto é:^[2]

r=ae^{b\theta }\,

ou, da mesma forma

\theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),

Sendo e a base do logaritmo natural, $a$ é unha constante real positiva e $b$ é tal que cando o ángulo θ é un ángulo recto:

e^{b\theta _{\mathrm {recto} }}\,=\phi

Por tanto, $b$ atópase determinado por

b={\ln {\phi } \over \theta _{\mathrm {recto} }}.

O valor numérico de $b$ depende de se o ángulo θ é medido en graos ou radiáns; como $b$ pode tomar valores positivos ou negativos segundo o signo de θ o máis sinxelo é indicar o seu valor absoluto:

|b|={\ln {\phi } \over 90}=0.0053468\,

para θ en graos

|b|={\ln {\phi } \over \pi /2}=0.306349\,

para θ en radiáns

Unha fórmula alternativa para a espiral dourada obtense en:^[3]

r=ac^{\theta }\,

onde a constante $c$ está determinada por:

c=e^{b}\,

para a espiral dourada os valores de $c$ son:

c=\phi ^{\frac {1}{90}}\doteq 1.0053611

se θ se mide en graos sexaxesimais, e

c=\phi ^{\frac {2}{\pi }}\doteq 1.358456.

se θ se mide en radiáns.

Espirais douradas verdadeiras e aproximadas: a espiral verde está formada por cuartos de circunferencias inscritas en cadrados; a espiral vermella é unha espiral dourada, un tipo particular de espiral logarítmica. Ao solaparse as dúas espirais, obtense a espiral amarela

Aproximacións á espiral dourada

Existen aproximacións á espiral dourada, que non son iguais.^[4] Este tipo de espirais, a miúdo confúndense coa espiral dourada. Un exemplo é a espiral de Fibonacci que resulta ser unha aproximación á espiral dourada.