División euclidiana
En aritmética, a división euclidiana (ou división con resto) é o proceso de dividir un número enteiro (o dividendo) por outro (o divisor), de forma que se produce un cociente enteiro e un resto natural estritamente menor que o valor absoluto do divisor. Unha propiedade fundamental é que o cociente e o resto existen e son únicos, baixo algunhas condicións. Os métodos de cálculo chámanse algoritmos de división enteira, sendo o máis coñecido a división longa.
Teorema da división
[editar | editar a fonte]A división euclidiana baséase no resultado, ás veces chamado lema de división de Euclides, que mostramos a conyinuación.
Dados dous números enteiros a e b, con b ≠ 0, existen números enteiros únicos q e r tal que
- a = bq r
e
- 0 ≤ r < |b|,
onde |b| denota o valor absoluto de b. [1]
No teorema anterior, cada un dos catro enteiros ten un nome propio: a chámase dividendo, b chámase divisor, q chámase cociente e r chámase resto.
Xeneralización
[editar | editar a fonte]Aínda que orixinalmente foi pensada para números enteiros, a división euclidiana e o teorema da división poden xeneralizarse a polinomios univariados sobre un corpo e a dominios euclidianos.
No caso dos polinomios, temos que a principal diferenza é que as desigualdades substitúense por
onde denota o grao do polinomio.
Na xeneralización a dominios euclidianos, a desigualdade descríbese como
onde denota unha función específica do dominio aos números naturais chamada "función euclidiana".
Exemplos
[editar | editar a fonte]- Se a = 7 e b = 3, entón q = 2 e r = 1, xa que 7 = 3 × 2 1.
- Se a = 7 e b = −3, entón q = −2 e r = 1, xa que 7 = −3 × (−2) 1.
- Se a = −7 e b = 3, entón q = −3 e r = 2, xa que −7 = 3 × (−3) 2.
- Se a = −7 e b = −3, entón q = 3 e r = 2, xa que −7 = −3 × 3 2.
En termos de notación decimal, a división longa proporciona un algoritmo eficiente para resolver divisións euclidianas. A súa xeneralización á notación binaria e hexadecimal proporciona máis flexibilidade e posibilidades de implementación en aplicacións informáticas. No entanto, para números grandes, adoitan preferirse os algoritmos que reducen a división á multiplicación, como o método de Newton–Raphson, porque só necesitan un tempo proporcional ao tempo da multiplicación necesario para verificar o resultado, independentemente do algoritmo de multiplicación que use.
Variantes
[editar | editar a fonte]A división euclidiana admite unha serie de variantes, algunhas delas enuméranse a continuación.
Outros intervalos para o resto
[editar | editar a fonte]Na división euclidiana con d como divisor, o resto pertence ao intervalo [0, d) de lonxitude |d|. Poderase utilizar calquera outro intervalo da mesma lonxitude. Por exemplo, dados os enteiros , , con , existen números enteiros únicos e con tal que .
En particular, se entón . Esta división chámase división centrada e o seu resto chámase resto centrado ou resto mínimo absoluto.
Isto úsase para aproximar números reais: a división euclidiana define o truncamento, e a división centrada define o redondeo.
División de Montgomery
[editar | editar a fonte]Dados os números enteiros , e con e sexa o inverso multiplicativo modular de (é dicir, con sendo múltiplo de ), entón existen números enteiros únicos e con tal que . Este resultado xeneraliza a división impar de Hensel (1900). [2]
O valor é o N-residuo definido na redución de Montgomery.
En dominios euclidianos
[editar | editar a fonte]Os dominios euclidianos (tamén coñecidos como aneis euclidianos) [3] defínense como dominios de integridade que admiten a seguinte xeneralización da división euclidiana:
- Dados un elemento a e un elemento distinto de cero b nun dominio euclidiano R equipado cunha función euclidiana d (tamén coñecida como valoración euclidiana [4] ou función de grao [3] ), existen q e r en R tal que a = bq r e a maiores r = 0 ou d(r) < d(b).
Non se require a unicidade de q e r. [5] Ocorre só en casos excepcionais, normalmente para polinomios univariados, e para números enteiros, se se engade a condición adicional r ≥ 0.
Exemplos de dominios euclidianos inclúen os corpos, os aneis polinómicos nunha variable sobre un corpo e tamén os enteiros gaussiano. A división euclidiana de polinomios ten sido obxecto de desenvolvementos específicos.
Notas
[editar | editar a fonte]- ↑ . 2010. pp. 17–19. ISBN 978-0-07-338314-9. Falta o
|title=
(Axuda) - ↑ 6. 2012: 14–19. doi:10.1049/iet-ifs.2010.0114. Falta o
|title=
(Axuda) - ↑ 3,0 3,1 Rotman 2006
- ↑ Fraleigh 1993
- ↑ "Divison and Euclidean Algorithm". www-groups.mcs.st-andrews.ac.uk. Arquivado dende o orixinal o 06 de maio de 2021. Consultado o 16 de maio de 2024.
Véxase tamén
[editar | editar a fonte]Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría: División euclidiana |
Bibliografía
[editar | editar a fonte]- Fraleigh, John B. (1993). A First Course in Abstract Algebra (5th ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-53467-2.
- Rotman, Joseph J. (2006). A First Course in Abstract Algebra with Applications (3rd ed.). Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-186267-8.
Outros artigos
[editar | editar a fonte]