Saltar ao contido

División euclidiana

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Dividimos 17 en 3 grupos de 5, quedando 2. Aquí, o dividendo é 17, o divisor é 3, o cociente é 5 e o resto é 2 (que é estrictamente menor que o divisor 3), ou máis simbólicamente, 17 = (3 × 5) 2.

En aritmética, a división euclidiana (ou división con resto) é o proceso de dividir un número enteiro (o dividendo) por outro (o divisor), de forma que se produce un cociente enteiro e un resto natural estritamente menor que o valor absoluto do divisor. Unha propiedade fundamental é que o cociente e o resto existen e son únicos, baixo algunhas condicións. Os métodos de cálculo chámanse algoritmos de división enteira, sendo o máis coñecido a división longa.

Teorema da división

[editar | editar a fonte]

A división euclidiana baséase no resultado, ás veces chamado lema de división de Euclides, que mostramos a conyinuación.

Dados dous números enteiros a e b, con b ≠ 0, existen números enteiros únicos q e r tal que

a = bq r

e

0 ≤ r < |b|,

onde |b| denota o valor absoluto de b. [1]

No teorema anterior, cada un dos catro enteiros ten un nome propio: a chámase dividendo, b chámase divisor, q chámase cociente e r chámase resto.

Xeneralización

[editar | editar a fonte]

Aínda que orixinalmente foi pensada para números enteiros, a división euclidiana e o teorema da división poden xeneralizarse a polinomios univariados sobre un corpo e a dominios euclidianos.

No caso dos polinomios, temos que a principal diferenza é que as desigualdades substitúense por

onde denota o grao do polinomio.

Na xeneralización a dominios euclidianos, a desigualdade descríbese como

onde denota unha función específica do dominio aos números naturais chamada "función euclidiana".

  • Se a = 7 e b = 3, entón q = 2 e r = 1, xa que 7 = 3 × 2 1.
  • Se a = 7 e b = −3, entón q = −2 e r = 1, xa que 7 = −3 × (−2) 1.
  • Se a = −7 e b = 3, entón q = −3 e r = 2, xa que −7 = 3 × (−3) 2.
  • Se a = −7 e b = −3, entón q = 3 e r = 2, xa que −7 = −3 × 3 2.

En termos de notación decimal, a división longa proporciona un algoritmo eficiente para resolver divisións euclidianas. A súa xeneralización á notación binaria e hexadecimal proporciona máis flexibilidade e posibilidades de implementación en aplicacións informáticas. No entanto, para números grandes, adoitan preferirse os algoritmos que reducen a división á multiplicación, como o método de Newton–Raphson, porque só necesitan un tempo proporcional ao tempo da multiplicación necesario para verificar o resultado, independentemente do algoritmo de multiplicación que use.

Variantes

[editar | editar a fonte]

A división euclidiana admite unha serie de variantes, algunhas delas enuméranse a continuación.

Outros intervalos para o resto

[editar | editar a fonte]

Na división euclidiana con d como divisor, o resto pertence ao intervalo [0, d) de lonxitude |d|. Poderase utilizar calquera outro intervalo da mesma lonxitude. Por exemplo, dados os enteiros , , con , existen números enteiros únicos e con tal que .

En particular, se entón . Esta división chámase división centrada e o seu resto chámase resto centrado ou resto mínimo absoluto.

Isto úsase para aproximar números reais: a división euclidiana define o truncamento, e a división centrada define o redondeo.

División de Montgomery

[editar | editar a fonte]

Dados os números enteiros , e con e sexa o inverso multiplicativo modular de (é dicir, con sendo múltiplo de ), entón existen números enteiros únicos e con tal que . Este resultado xeneraliza a división impar de Hensel (1900). [2]

O valor é o N-residuo definido na redución de Montgomery.

En dominios euclidianos

[editar | editar a fonte]

Os dominios euclidianos (tamén coñecidos como aneis euclidianos) [3] defínense como dominios de integridade que admiten a seguinte xeneralización da división euclidiana:

Dados un elemento a e un elemento distinto de cero b nun dominio euclidiano R equipado cunha función euclidiana d (tamén coñecida como valoración euclidiana [4] ou función de grao [3] ), existen q e r en R tal que a = bq r e a maiores r = 0 ou d(r) < d(b).

Non se require a unicidade de q e r. [5] Ocorre só en casos excepcionais, normalmente para polinomios univariados, e para números enteiros, se se engade a condición adicional r ≥ 0.

Exemplos de dominios euclidianos inclúen os corpos, os aneis polinómicos nunha variable sobre un corpo e tamén os enteiros gaussiano. A división euclidiana de polinomios ten sido obxecto de desenvolvementos específicos.

  1. . 2010. pp. 17–19. ISBN 978-0-07-338314-9.  Falta o |title= (Axuda)
  2. 6. 2012: 14–19. doi:10.1049/iet-ifs.2010.0114.  Falta o |title= (Axuda)
  3. 3,0 3,1 Rotman 2006
  4. Fraleigh 1993
  5. "Divison and Euclidean Algorithm". www-groups.mcs.st-andrews.ac.uk. Arquivado dende o orixinal o 06 de maio de 2021. Consultado o 16 de maio de 2024. 

Véxase tamén

[editar | editar a fonte]

Bibliografía

[editar | editar a fonte]
  • Fraleigh, John B. (1993). A First Course in Abstract Algebra (5th ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-53467-2. 
  • Rotman, Joseph J. (2006). A First Course in Abstract Algebra with Applications (3rd ed.). Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-186267-8. 

Outros artigos

[editar | editar a fonte]