Unión (conxuntos)

Na teoría de conxuntos, a unión dunha colección de conxuntos (denotada por ∪) é o conxunto de todos os elementos da colección.^[1] É unha das operacións fundamentais mediante as que se poden combinar e relacionar conxuntos entre si. Unha unión nula refírese a unha unión de cero ( $0$ ) conxuntos e é por definición igual ao conxunto baleiro.

Para a explicación dos símbolos utilizados neste artigo, consulte a táboa de símbolos matemáticos.

Unión de dous conxuntos

A unión de dous conxuntos A e B é o conxunto de elementos que están en A, en B ou en A e B.^[2]

A\cup B=\{x:x\in A{\text{ ou }}x\in B\}

.^[3]

Vemos un exemplo, se A = {1, 3, 5, 7} e B = {1, 2, 4, 6, 7} entón A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Un exemplo con dous conxuntos infinitos pode ser:

A = {x é un enteiro par máis grande que 1}

B = {x é un enteiro impar máis grande que 1}

A\cup B=\{2,3,4,5,6,\dots \}

Un exemplo dun elemento non incluído na unión, o número 9 non está contido na unión do conxunto de números primos {2, 3, 5, 7, 11, ...} e do conxunto de números pares {2, 4, 6, 8, 10, ...}, porque 9 non é nin primo nin par.

Os conxuntos non poden ter elementos duplicados, ^[3] ^[4] polo tanto a unión dos conxuntos {1, 2, 3} e {2, 3, 4} é {1, 2, 3, 4}. As aparicións múltiples de elementos idénticos non teñen ningún efecto sobre a cardinalidade dun conxunto ou o seu contido.

Propiedades alxébricas

A unión binaria é unha operación asociativa; é dicir, para calquera conxunto $A,B,{\text{ and }}C$ , $A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C.$ Así, as parénteses pódense omitir sen ambigüidades: calquera das anteriores pódese escribir como $A\cup B\cup C$ . Ademais, a unión é conmutativa, polo que os conxuntos poden escribirse en calquera orde.^[5] O conxunto baleiro é un elemento identidade para o funcionamento da unión. É dicir, $A\cup \varnothing =A$ , para calquera conxunto $A$ . Ademais, a operación de unión é idempotente: $A\cup A=A$ .

A intersección é distributiva coa unión $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$ a unión é distributiva coa intersección ^[2] $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C).$ O conxunto de partes dun conxunto $U$ , xunto coas operacións dadas pola unión, intersección e complemento, é unha álxebra de Boole. Nesta álxebra de Boole, a unión pódese expresar en termos de intersección e complementario pola fórmula $A\cup B=(A^{\complement }\cap B^{\complement })^{\complement },$ onde o superíndice ${}^{\complement }$ significa o complemento no conxunto universal $U$ .

Unións finitas

Unha unión finita é a unión dun número finito de conxuntos; a frase non implica que o conxunto de unión sexa un conxunto finito. ^[6] ^[7]

Unións arbitrarias

A noción máis xeral é a unión dunha colección arbitraria de conxuntos. Se M é un conxunto ou clase cuxos elementos son conxuntos, entón x é un elemento da unión de M se e só se hai polo menos un elemento A de M tal que x é un elemento de A. ^[8] En símbolos:

x\in \bigcup \mathbf {M} \iff \exists A\in \mathbf {M} ,\ x\in A.

Notacións

A notación para o concepto xeral pode variar considerablemente. Para unha unión finita de conxuntos $S_{1},S_{2},S_{3},\dots ,S_{n}$ pódese escribir como $S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}\cup \dots \cup S_{n}$ ou ${\textstyle \bigcup _{i=1}^{n}S_{i}}$ . As unións arbitrarias teñen varias notacións similares: ${\textstyle \bigcup \mathbf {M} }$ , ${\textstyle \bigcup _{A\in \mathbf {M} }A}$ , e ${\textstyle \bigcup _{i\in I}A_{i}}$ . A última destas notacións refírese á unión da colección $\left\{A_{i}:i\in I\right\}$ , onde I é un conxunto de índices e $A_{i}$ é un conxunto para todos eses índices $i\in I$ . No caso de que o conxunto índice I sexa o conxunto de números naturais, utilízase a notación ${\textstyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$ , que é análogo ao das sumas infinitas en serie. ^[8]