Triángulo de Pascal

O triángulo de Pascal, tamén coñecido como triángulo de Tartaglia, é un triángulo de números enteiros, infinito e simétrico.

Triángulo de Pascal ou de Tartaglia.

Fundamentos

Constrúese do seguinte xeito: Empézase polo « 1 » do cume. Dunha liña á seguinte convense escribir os números cun desfasamento de media casa. Así, as casas (que non se debuxan) terán cada unha dúas casas xusto encima, na liña anterior. O valor que se escribe nunha casa é a suma dos valores das dúas casas enriba dela. O valor cero non se escribe. Por exemplo, na última liña debuxada, o cuarto valor é 84 = 28 56, suma do terceiro e cuarto valor da liña anterior. Obsérvase, e non é difícil demostralo, que a capa exterior está formada de uns, a segunda capa dos naturais en orde crecente, que os números non fan máis que subir dunha liña á seguinte e que existe un eixo de simetría vertical que pasa polo vértice.

Con todo, o interese deste triángulo non radica nestas propiedades, senón no vínculo que ten co álxebra elemental. En efecto, as cifras 1; 2; 1 e 1; 3; 3; 1 recordan as identidades:

$(a b)^{2}=a^{2} 2ab b^{2}\quad$

y

$(a b)^{3}=a^{3} 3a^{2}b 3ab^{2} b^{3}\quad$

pois son os coeficientes dos seus monomios. Este parecido non é casual e xeneralízase a calquera potencia do binomio a b.

Relación entre o triángulo de Pascal e o binomio de Newton

A fórmula que dá o desenvolvemento de $(a b)^{n}$ segundo as potencias crecentes de a (e decrecientes de b) chámase binomio de Newton. Nesta expresión, o único que se descoñece son os coeficientes dos monomios $a^{k}b^{n-k}$.

Teorema

Os coeficientes da forma desenvolvida de (a b)ⁿ son dados
pola liña número n 1 do triángulo de Pascal (a que empeza por 1 e n).

Proba

Xa está visto que é certo para n=2 e n=3. Tamén o é para n=0.
Para establecer o resultado para calquera valor de n ∈ ℕ, o máis natural é proceder por indución. Supondo que é certo para un valor de n, hai que deducir que o é tamén para n 1. No canto de facelo no caso xeral (sería pouco claro) miremos que sucede ao pasar da liña n = 3 á liña n = 4.

Como o mostra a figura, o desenvolvemento de (a   b)⁴ consiste en dúas copias do desenvolvemento de (a   b)³. Están desfasadas (unha corresponde a a⋅(a   b)³ e a outra a b⋅(a   b)³) e cando se suman, un mesmo coeficiente aparece nunha posición dada e outra vez a un paso á dereita.
Se se considera só os coeficientes, inscritos en sendas casas, obtemos a suma seguinte:

e obviamente non fai falta escribir dúas veces as mesmas cifras: a suma consiste en engadir a un coeficiente o coeficiente inmediatamente á súa dereita (o 1 co 3, o 3 co segundo 3 etc) e isto é xustamente o que se fai no triángulo de Pascal. Noutras palabras, o triángulo simula a multiplicación de (a b), dunha liña á seguinte.

Coeficientes do binomio de Newton

Inscríbese o triángulo de Pascal nunha táboa para poder nomear a cada coeficiente do mesmo. O número na liña n e a columna p denótase:

$n \choose k$

ou máis raramente

$C_{n}^{k}$

("C" por "combinación") (por exemplo en calculadoras de peto, como a TI-86 e familia), e dise "n sobre k", "combinación de n en k" moito máis curto que "coeficiente binomial n, k". As casas baleiras corresponden a valores nulos. Por definición mesma, temos, (para todo n natural):

$(a b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}$

para calquera valor de a e b. De feito, é unha igualdade de polinomios en ℤ[a, b]. Sen perder en xeneralidade, resulta ás veces máis práctica a "definición" :

$(X 1)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}X^{k}$

vista como unha igualdade de polinomios en ℤ[X]. Desta fórmula dedúcense dúas consecuencias:

Tomando X = 1 obtense:

$\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}=2^{n}$

A suma dos coeficientes dunha mesma liña vale 2ⁿ. En efecto: 1 = 2⁰, 1 1 =2= 2¹, 1 2 1 =4= 2², 1 3 3 1 =8= 2³, 1 4 6 4 1 =16= 2⁴ ... · Con X = -1 obtense, (n > 0):

$\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(-1)^{k}=0$

: a suma alterna dos números dunha mesma liña vale 0.

En efecto: 1 - 1 = 0, 1 - 2 1 = 0, 1 - 3 3 - 1 = 0, 1 - 4 6 - 4 1 = 0, 1 - 5 10 - 10 5 - 1 = 0 ... As propiedades que observamos no triángulo pódense agora escribir con todo rigor:

.

${n \choose 0}={n \choose n}=1$

(costados esquerdos e dereitos do triángulo).

.

${n \choose 1}={n \choose {n-1}}=n$

("segunda capa").

.

${n \choose {n-p}}={n \choose p}$

(simetría respecto ao eixo vertical do triángulo).

.

${n \choose p}=0$

cando p > n (corresponde á zona fose do triángulo).

E claro, a regra de construción do triángulo dá a relación fundamental dos coeficientes binomiais:

.

${n \choose p} {n \choose {p 1}}={{n 1} \choose {p 1}}$

Interpretación en combinatoria

Os coeficientes binomiais son a base mesma da combinatoria. Vexamos por que: Tomemos de novo un binomio, por exemplo $(a b)^{3}$, e desarollémoslo, pero dun xeito distinto do parágrafo anterior:

$(a b)^{3}=(a b)\cdot (a b)\cdot (a b)$

logo quitemos #o\\\ #paréntese\\, pero sen cambiar a orde nos produtos, é dicir sen aplicar a conmutatividade:

$(a b)\cdot (a b)\cdot (a b)=(aa ab ba bb)\cdot (a b)$

$=aaa aab aba abb baa bab bba bbb\quad$

E agrupemos os termos que conteñen o mesmo número de a, (e de b):

$=aaa (aab aba baa) (abb bab bba) bbb\quad$

A primeira paréntese contén todas as palabras constituídas dun b e dous a. Neste caso, é fácil ver que hai exactamente tres. No caso xeral, para contar as palabras, hai que aplicar a conmutatividade, pois as palabras que conteñen o mesmo número da e b darán o mesmo termo:

$=1\cdot a^{3} 3\cdot a^{2}b 3\cdot ab^{2} 1\cdot b^{3}$

O primeiro factor 3, que é

${3 \choose 1}$

conta as tres palabras mencionadas (aab, aba e baa).

O segundo factor 3, que é

${3 \choose 2}$

conta as palabras feitas de dúas b e un a (abb, bab e bba).

Obviamente, só hai unha palabra de tres letras constituídas de a soamente, e isto corresponde ao monomio 1·a³, con 1 = ${3 \choose 0}$ ( «0 » por ningunha b).

No canto de falar de palabras formadas con a e b, é equivalente imaxinar unha fileira de n caixóns inicialmente baleiros, e p bólas intercambiables que se teñen que repartir, en cada caixón non cabendo máis dunha. Trátase en todos casos de repartir p obxectos entre n sitios posibles, ou de escoller un grupo de p obxectos/sitios entre n obxectos/sitios. De aí a apelación p entre n.

Todo o anterior leva ao teorema:

Hai exactamente

${n \choose p}$

xeitos de escoller un conxunto de p elementos entre n elementos.

En matemática formal, prefírese falar de conxuntos:

Existen

${n \choose p}$

subconjuntos de cardinal p nun conxunto de cardinal n.

Este punto de vista permite achar a fórmula para os coeficientes binomiais. En efecto, para elixir o « primeiro » elemento, hai n posibilidades, logo para escoller o segundo quedan n-1 posibilidades e así sucesivamente ata o elemento número p, que ten n-p 1. A orde no que se elixiu estes p elementos non importa, podíase obter o mesmo subconjunto de p elementos noutra orde. Hai p! permutacións posibles destes p elementos, é dicir p! xeitos de obter o mesmo conxunto.

Xa que logo hai

${\frac {n\cdot (n-1)\cdot (n-2)...(n-p 1)}{p!}}$

subconjuntos posibles.

En conclusión:

${n \choose p}={\frac {n\cdot (n-1)\cdot (n-2)...(n-p 1)}{p\cdot (p-1)\cdot (p-2)...2\cdot 1}}={\frac {n!}{p!\cdot (n-p)!}}$

Verifiquémoslo nun exemplo:

${5 \choose 2}={\frac {5!}{2!3!}}={\frac {5\times 4\times 3\times 2}{2\times 3\times 2}}=10$

No triángulo, o valor na quinta liña e segunda columna é 10. Para rematar, listemos as palabras de cinco letras formadas de 2 a e 5-2 = 3 b (na orde alfabética, ou na orde crecente considerando que a é a cifra 0 e b a cifra 1):
aabbb, ababb, abbab, abbba, baabb, babab, babba, bbaab, bbaba, bbbaa.

A fórmula permite verificar todas as propiedades do parágrafo anterior, con todo pódese prescindir dos cálculos na maioría dos casos, con tal de manipular os conceptos idóneos.

Un subconjunto A de E define unha partición de E en dous partes E = A B ∪ , coa ∩ B = {}= ∅ (conxunto baleiro). Aquí $B={\overline {A}}$ é o complementario da en E.

Dá o mesmo escoller os p elementos da que os n-p elementos de math ${\overline {A}}$.

Isto xustifica, sen cálculo, a simetría

${n \choose {n-p}}={n \choose p}$.

Se > p n, non hai subconjuntos de E con p elementos, porque E contén só n, logo

${n \choose p}=0$

Tamén son evidentes as igualdades

${n \choose 1}=n$

e

${n \choose 0}=1$

porque, no primeiro caso,

hai tantos xeitos de escoller subconjunto de tamaño 1 que de elementos de E, e no segundo caso, só existe un conxunto con cero elemento: o conxunto baleiro.

A regra fundamental tamén ten explicación gráfica:

Proba: escóllese un elemento e calquera de E, que contén n 1 elementos: E = E' ∪ {e}. Logo considéranse os subconjuntos A de E de cardeal p 1. Son de dous tipos: ou conteñen e, ou non.

Se e ∈ A, entón falta elixir p elementos de E' para completar A. Hai

${n \choose p}$

posibilidades.

Se e ∉ A, entón falta elixir p 1 elementos de E' para definir A. Hai

${n \choose {p 1}}$

posibilidades.

Sumando os dous casos, obtense todos as partes de p 1 elementos de E, constituído de n 1 elementos.

Hai xa que logo

${{n 1} \choose {p 1}}={n \choose {p 1}} {n \choose p}$

Un exemplo:

Aquí vai unha propiedade aritmética, sen interpretación xeométrica: cando n é primo, os coeficientes binomiais na liña n son divisibles por n, excepto os dous bordos da mesma (que valen 1). Escrito formalmente:

Teorema :

$\forall p\in [1;n-1],n/{n \choose p}$

Na figura, os exemplos están en verde, e os contraejemplos (cando n non é primo e p divide n) en amarelo.

Proba: na fracción

${\frac {n!}{p!(n-p)!}}$

o factor primo

n aparece unha vez no numerador e xamais no denominador. (O denominador é un produto de números entre 1 e n-1). Xa que logo a fracción é divisible por n.

Xeneralización

No canto de considerar as potencias de a b, pódese mirar as do trinomio a b c.
(a b c)ⁿ é unha suma de monomios da forma λ_{p, q, r} ·a sup<>p·b^q·c^r, con p, q e r positivos, p q r = n, e λ_{p, q, r} un natural que se tería que chamar coeficiente trinomial.

Os cálculos son similares aos do coeficiente binomial, e dan a expresión seguinte:

$\lambda _{p,q,r}={\frac {n!}{p!q!r!}}$

Corresponde ao número de partición en tres dun conxunto de n elementos, en subconjuntos de p, q e r elementos. Un exemplo:

Estes coeficientes pódense achar na analogía tridimensional do triángulo de Pascal: Poderíase chamar a pirámide de Pascal, é tamén infinita, con seccións triangulares, e o valor en cada casa é a suma dos valores das tres casas encima dela.
Debuxouse as primeiras seccións a partir do cume.
Obsérvase unha invariance por rotación de 120 graos ao redor dun eixo vertical que pasa polo vértice.
O triángulo de Pascal aparece nas tres caras da pirámide.

Está claro que todo isto pódese xeneralizar a calquera dimensión finita, pero sen a posibilidade de facer debuxos explicativos.