Orientación (xeometría)

En xeometría, a orientación, dirección, ou posición angular dun obxecto, como unha liña, un plano ou un corpo ríxido, forma parte da descrición de como se coloca no espazo que ocupa. Máis concretamente, refírese á rotación imaxinaria que se necesita para mover o obxecto dunha posición de referencia á súa posición actual. A posición e a orientación xuntos describen completamente como se coloca o obxecto no espazo.

Mudar a orientación dun corpo ríxido é o mesmo que xirar os eixes dun marco de referencia conectado a el.

O teorema da rotación de Euler mostra que en tres dimensións pódese alcanzar calquera orientación cunha única rotación arredor dun eixe fixo. Isto dá unha forma común de representar a orientación mediante unha representación de eixe-ángulo. Outros métodos moi utilizados inclúen cuaternións de rotación, rotores, ángulos de Euler ou matrices de rotación. Tamén se pode usar un vector unitario para representar a orientación dun vector normal dun obxecto ou a dirección relativa entre dous puntos.

Normalmente, a orientación dáse en relación a un marco de referencia, especificado por un sistema de coordenadas cartesianas. Dous obxectos que comparten a mesma dirección dise que son codireccionais (como nas liñas paralelas). Dise que dúas direccións son opostas se son inversas aditivas unha da outra, como nun vector unitario arbitrario e a súa multiplicación por −1. Dúas direccións son obtusas se forman un ángulo obtuso (maior que un ángulo recto) ou, de forma equivalente, se o seu produto escalar é negativo.

O termo dirección soe usarse como a liña que une dous puntos, podéndose seguir en dous sentidos. Xeralmente aplícase a unha recta ou xeodésica. A dirección nas liñas rectas é constante, pois non se crea ningún ángulo a medida que se lle van dando valores á función que a describe. Porén, nas liñas curvas a direccións pode ser distinta en cada punto: á dirección de cada punto se lle adoita chamar tanxente e matematicamente se calcula co valor da derivada en cadanseu punto.

Dirección na vida común

A dirección na sinalización das obras públicas, principalmente na rede viaria, serve para indicar o camiño que se debe utilizar para chegar un lugar determinado. É moi habitual sinalizar as direccións nas rotondas e nas saídas das autovías, autoestradas e outras vías principais, así coma naquelas estradas e pistas que non presentan desviacións durante un longo tramo do seu percorrido.

Non debe confundirse con enderezo, palabra utilizada nos ámbitos informáticos (p. ex. enderezo IP) ou postais para indicar as señas finais para a localización dunha entidade.

Corpo ríxido en tres dimensións

Ángulos de Euler

Os ángulos de Euler, unha das posibles formas de describir unha orientación

O primeiro intento de representar unha orientación atribúese a Leonhard Euler. Imaxinou tres marcos de referencia que podían xirar un ao redor do outro, e deuse conta de que comezando cun marco de referencia fixo e realizando tres rotacións, podía obter calquera outro marco de referencia no espazo (usando dúas rotacións para fixar o eixe vertical e outra para fixar os outros dous eixes). Os valores destas tres rotacións chámanse ángulos de Euler.

Ángulos de Tait-Bryan

Ángulos de Tait-Bryan. Outra forma de describir a orientación

Estes son tres ángulos, tamén coñecidos como ángulos de navegación e ángulos de cardán. Matematicamente constitúen un conxunto de seis posibilidades dentro dos doce conxuntos posibles de ángulos de Euler.

Unha rotación representada por un eixe e un ángulo de Euler.

Vector de orientación

Euler tamén se decatou de que a composición de dúas rotacións é equivalente a unha única rotación arredor dun eixe fixo diferente (teorema da rotación de Euler). Polo tanto, a composición dos tres primeiros ángulos ten que ser igual a só unha rotación, cuxo eixe foi complicado de calcular ata que se desenvolveron matrices.

Un método similar, chamado representación eixe-ángulo, describe unha rotación ou orientación utilizando un vector unitario aliñado co eixe de rotación e un valor separado para indicar o ángulo (ver figura).

Matriz de orientación

Artigo principal: Matriz de rotación.

Coa introdución das matrices, os teoremas de Euler foron reescritos. As rotacións foron descritas mediante matrices ortogonais denominadas matrices de rotación ou matrices de coseno de dirección. Cando se usa para representar unha orientación, unha matriz de rotación chámase comunmente matriz de orientación ou matriz de actitude.

O vector de Euler mencionado anteriormente é o vector propio dunha matriz de rotación (unha matriz de rotación ten un valor propio real único). O produto de dúas matrices de rotación é a composición das rotacións. Polo tanto, como antes, a orientación pódese dar como a rotación desde o marco inicial para acadar o marco que queremos describir.

O espazo de configuración dun obxecto non simétrico no espazo n-dimensional é SO(n) × R ⁿ. A orientación pódese visualizar unindo unha base de vectores tanxentes a un obxecto. A dirección na que apunta cada vector determina a súa orientación.

Exemplos de matriz de orientación ou rotación

• A matriz de rotación 2×2

$Q={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$

corresponde a unha rotación de 90° no plano.

• A matriz de rotación 3×3

$Q={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{pmatrix}}$

corresponde a unha rotación no espazo de 3 dimensións de −30° ao redor do eixo das x.

Cuaternión de orientación

Outra forma de describir as rotacións é usar cuaternións de rotación.

Véxase tamén

Outros artigos

• Orixe (matemáticas)
• Posición (xeometría)
• Translación (xeometría)
• Eixes do avión