Paridade (matemáticas)

En matemáticas, un número par é un número enteiro que se pode escribir da forma: 2k (é dicir, divisible de maneira enteira entre 2), onde k é un enteiro (os números pares son os múltiplos do número 2). Os números enteiros que non son pares chámanse números impares e poden escribirse como 2k 1.

Os números pares son:

$\mathrm {pares} =\{\;...,\;-4,\;-2,\;0,\;2,\;4,\;6,\;8,\;...\;\}$

e os impares:

$\mathrm {impares} =\{\;...,\;-5,\;-3,\;-1,\;1,\;3,\;5,\;7,\;...\;\}$

A paridade dun número enteiro refírese ao seu atributo de ser par ou impar. Comparativamente, dous números son «da mesma paridade» se ao dividilos entre 2 o resto é o mesmo; por exemplo, "2" e "4", ou "3" e "7"; son «da mesma paridade». Polo contrario os números "23" e "44" son «de distinta paridade».

Recoñecemento

Regras de Cuisenaire: o 5 (amarelo) non pode ser dividido exactamente en 2 (vermello) por calquera dúas regras da mesma cor e lonxitude, mentres que 6 (verde escuro) pode dividirse en dúas de 3 (verde claro).

Se a base de numeración utilizada é un número par (por exemplo, base 10 ou base 8), pódese recoñecer un número par se o seu último díxito tamén é par. Por exemplo, o número en base 10 ${352107706}_{10}$ é par porque o seu último díxito (6) tamén é par. O mesmo sucede co número en base 6 ${2145301354}_{6}={23211718}_{10}$

Se a base do sistema de numeración é impar, o número será par se o número de díxitos impares é par. Por exemplo, en base 3 ${120}_{3}={15}_{10}$ é impar porque 1 é a súa única cifra impar, mentres que ${321}_{5}={86}_{10}$ é par porque 3 e 1 son os dous díxitos impares.

Propiedades

• Dous números enteiros consecutivos teñen paridade diferente.
• Dados tres enteiros consecutivos, dous serán da mesma paridade e un deles será necesariamente de paridade distinta dos outros dous.

Sexan $P$ o conxunto dos números pares e $I$ o conxunto dos números impares. Se tomamos o conxunto dos números enteiros téñense as seguintes propiedades:

• $P\subset \mathbb {Z}$
• $I\subset \mathbb {Z}$
• $P\cap I=\emptyset$
• $P\cup I=\mathbb {Z}$
• $P={\bar {I}}=\mathbb {Z} -I$, onde o macron denota o complementario do conxunto.
• $I={\bar {P}}=\mathbb {Z} -P$

Sexa $p$ un número par calquera e $i$ un número impar calquera. Cúmprese:

• A suma ou subtracción de dous números pares resulta un número par:

$p\pm p'=2n\pm 2n'=2(n\pm n')=p''\,\!$

• A suma ou subtracción de dous números impares resulta un número par:

$i\pm i'=(2n-1)\pm (2n'-1)=2n\pm 2n' c=2(n\pm n' c)=p\,\!$

• A suma ou subtracción dun número par cun número impar resulta un número impar:

$p\pm i=p\pm (p'-1)=(p\pm p')\pm 1=i'\,\!$

• A multiplicación dun número par por un número par resulta un número par:

$p\times p'=(2n)(2n')=2(2nn')=p''\,\!$

• A multiplicación dun número impar por un número impar resulta un número impar:

$i\times i'=(2n-1)(2n'-1)=2n2n'-2n-2n' 1=2(2nn')-2n-2n' 1=p-p'-p'' 1=p''' 1=i''\,\!$

• A multiplicación dun número par por un número impar resulta un número par:

$p\times i=(2n)(2n'-1)=2n2n'-2n=2(2nn'-n)=p'\,\!$

Tipos especiais de números pares

• Os números perfectos son pares.
• Os factoriais dos números naturais diferentes de 1 e 0 son pares.
• Os números congruentes de Fibonacci son todos pares. Segundo a definición de Fibonacci que aparece no seu libro Liber Quadratorum (1225), un número congruente é da forma m·n (m² - n²), con m e n enteiros positivos impares e m > n.

Véxase tamén

Outros artigos

• Paridade do cero